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Eine Pyramide ist ein Körper mit einem Vieleck (Polygon) als Grundfläche, der nach oben spitz zuläuft. Dadurch entstehen dreieckige Seitenflächen. Wie die meisten Körper hat eine Pyramide eine Grundfläche. Diese Grundfläche kann ein Quadrat, ein Dreieck oder jedes andere beliebige Vieleck bilden. Je nachdem, wo über der Grundfläche sich die Spitze befindet, verschiebt sich auch der Fußpunkt.

In der Geometrie berechnet man die gängigen Größen, die du auch von anderen Körpern kennst. Dazu gehören das Volumen und der Oberflächeninhalt.

In der Grafik erkennst du die wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit Pyramiden. Diese solltest du kennen, um Aufgaben im Matheunterricht bearbeiten zu können. In den Übungen werden diese genauer beschrieben. Dort lernst du auch die wichtigsten Formeln, mit denen du eine Pyramide beschreiben kannst. Schau dir auch die Klassenarbeiten an. Wenn du diese lösen kannst, werden dir Pyramiden im Unterricht keine Sorgen mehr bereiten.

Es ist eine Pyramide zu sehen, bei der die wichtigsten Bestandteile (wie Spitze etc.) beschrieben sind.

Die Pyramide und die Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen

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Oberfläche und Volumen bei Pyramiden

Oberfläche und Volumen bei Pyramiden

Oberfläche und Volumen bei Pyramiden

Wie du die Oberfläche von Pyramiden berechnest

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Oberfläche einer Pyramide berechnen

Oberfläche einer Pyramide berechnen

Oberfläche einer Pyramide berechnen

Wie du das Volumen einer Pyramide berechnest

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Volumen einer Pyramide berechnen

Volumen einer Pyramide berechnen

Volumen einer Pyramide berechnen

Schlussrunde: Pyramide

Schlussrunde: Pyramide

Schlussrunde: Pyramide

Was du wissen musst

  • Welche Arten von Pyramiden gibt es?

    Pyramiden lassen sich je nach Grundfläche und Fußpunkt unterschiedlich charakterisieren. Grundsätzlich sind zwei Einteilungen wichtig.

    Regelmäßige und unregelmäßige Pyramiden

    In deiner Schullaufbahn bist du sicher schon mit den sogenannten regelmäßigen Polygonen wie Quadraten oder ähnlichen Figuren in Kontakt gekommen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Man spricht von regelmäßigen Pyramiden, wenn

    • die Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und
    • sich die Spitze über dem Grundflächenmittelpunkt befindet.

    Bei einer unregelmäßigen Pyramide ist mindestens eines dieser Kriterien nicht erfüllt.

    Regelmäßige Pyramide mit dreieckiger Grundfläche

    Man sieht ein Tetraeder mit Winkelhalbierenden auf der Grundfläche

     

    Unregelmäßige Pyramide mit Trapez als Grundfläche

    Auf dem Bild ist eine Pyramide abgebildet mit einer Trapez Grundfläche.

    Gerade und schiefe Pyramiden

    Bei geraden Pyramiden befindet sich wie bei regelmäßigen Pyramiden die Spitze über dem Mittelpunkt der Fläche. Aber Vorsicht: Nicht jede gerade Pyramide ist automatisch auch regelmäßig. Ist die Grundfläche kein regelmäßiges Polygon, so handelt es sich um eine unregelmäßige Pyramide. Eine schiefe Pyramide hingegen kann ihre Spitze überall haben, außer über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

    Gerade Pyramide mit rechteckiger Grundfläche

    Bild einer unregelmäßig, geraden und rechteckigen Pyramide

    Schiefe Pyramide mit quadratischer Grundfläche

    schiefe Pyramide mit quadratischer Grundfläche

     

  • Welche Eigenschaften von Pyramiden sind wichtig?

    Wie bei jedem anderen Körper kannst du bei einer Pyramide das Volumen und den Oberflächeninhalt berechnen. Dabei unterteilt man den Flächeninhalt in Grund- und Mantelfläche.

    Die Grundfläche hat den Inhalt \(A_\text{G}\) und lässt sich mit der entsprechenden Inhaltsformel des jeweiligen Polygons berechnen. Bei quadratischen Pyramiden gilt also:

    \(A_\text{G} = a^2\)

    Die Mantelfläche besteht aus den gleichseitigen Dreiecken. Ihr Inhalt ist also:

    \(A_\text{M} = x \cdot \frac{c \ \cdot\ h}{2}\)

    Dabei ist \(x\) die Anzahl der Dreiecke. Diese unterscheidet sich je nach Polygon. Bei einer quadratischen Pyramide wären es also vier Flächen und es gilt:

    \(A_\text{M} = 4 \cdot \frac{a\ \cdot\ h}{2}\)

    Die Gesamtfläche \(A_{\text{ges}}\) ist dann die Summe von Grund- und Mantelfläche:

    \(A_{\text{ges}} = A_\text{G} + A_\text{M}\)

    Zu guter Letzt gilt für das Volumen immer:

    \(V = \frac{A_\text{G} \ \cdot\ h}{3}\)

    Damit gilt für eine quadratische Pyramide:

    \(V = \frac{a^2 \ \cdot\ h}{3}\)

    Natürlich gibt es auch weitere Figuren, die aus Pyramiden entstehen können. Dazu zählt auch der Pyramidenstumpf. Diesen kannst du dir als Pyramide vorstellen, der die Spitze abgeschnitten wurde.

  • Wie löst man Aufgaben zu Pyramiden erfolgreich?

    Bei jeder Aufgabe in der Geometrie kannst du fast nach demselben Schema vorgehen. Dazu musst du zuerst die Aufgabe analysieren, indem du

    • gegebene Werte notierst,
    • gesuchte Werte notierst,
    • eine Skizze mit den gegebenen und gesuchten Werten anfertigst.

    Achte beim Zeichnen deiner Skizze, dass du sauber arbeitest und deine Materialien im guten Zustand sind. Das hilft dir auch bei der Bearbeitung von Folgeaufgaben. Dann solltest du die Aufgabe lösen. Dafür musst du

    • die entsprechenden Formeln notieren,
    • die Formeln umstellen,
    • die gegebenen Werte einsetzen,
    • die Ergebnisse ausrechnen.

    Manche Aufgaben gestalten sich etwas schwieriger. So kennst du zwar die Formeln für Flächeninhalt und Volumen einer Pyramide, kennst aber nicht die Höhe der Pyramide. Für solche Fälle solltest du den Satz des Pythagoras beherrschen. Auch der Umgang mit trigonometrischen Formeln ist wichtig, wenn du zum Beispiel unbekannte Winkel berechnen musst.

  • Wo findet man Pyramiden außerhalb der Mathematik?

    Pyramiden finden sich außerhalb des Mathematikunterrichts in vielen unterschiedlichen Lebensbereichen wieder. Du findest sie z. B. in der Chemie, aber auch in der Architektur.

    Pyramiden in der Natur

    Pyramiden sind nicht ausschließlich von Menschen gefertigte Körper. Auch in der Natur findet sich diese Form häufig wieder. So sind die Atome des Methan-Moleküls \(\ce{CH4}\), das unter anderem ein Treibhausgas ist, tetraedisch angeordnet. Tetraeder sind Pyramiden, bei denen alle Flächen genau gleich sind.

    Pyramiden in  der Architektur

    Die Pyramide ist eine beliebte Bauform. Schon in der Antike wurden Pyramiden in unterschiedlichen Kulturen erbaut. Dazu gehören auch die Pyramiden von Gizeh in Ägypten. Die Cheopspyramide gehört zu den sieben Weltwundern der Antike. Im antiken Ägypten wurden Pyramiden als Grabstätten für die Pharaonen, die damaligen Herrscher, genutzt. Diese Pyramiden haben meist eine quadratische Grundfläche und die Spitze befindet sich genau über dem Mittelpunkt des Quadrats.

    Pyramidenbauten finden sich aber nicht nur in Ägypten. Sie sind weit verbreitet. So wurden auch in Mexiko Pyramiden gebaut. Auf deren Spitze befindet sich ein Plateau, auf dem ein Tempel für die Gottheiten errichtet wurde. Auch mesoamerikanische Pyramiden, also die in Mexiko, sind häufig quadratische Pyramiden.

    Modellhafte Darstellung eines Methanmolekül. Vier Wasserstoffatome sind um ein Kohlenstoffatom angereiht.