Quadratische Gleichungen

Eine allgemeine quadratische Gleichung hat die Form

0 = ax² + bx + c.

Dabei sind x die unabhängige Variable, y die abhängige Variable und a, b, c drei konstante Parameter. Man kann die rechte Seite einer quadratische Gleichung auch als den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion) zweiten Grades ansehen oder auch als ein Polynom zweiten Grades.

Es gibt zwei wichtige Formeln zum Lösen von quadratischen Gleichungen, die zueinander äquivalent sind – mindestens eine von beiden sollte man unbedingt auswendig können!

• Die Mitternachtsformel liefert als Lösungsmenge \(\displaystyle L=\left \{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right \}\).
• Die pq-Formel wendet man im Fall a = 1 an bzw. wenn man die Gleichung durch Äquivalenzumformung in die sog. Normalform 0 = x² + px + q gebracht hat. Dann ist \(\displaystyle L=\left \{ - \frac{p }{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p }{2} \right)^2- q}\right \}\).

Da in beiden Lösungsformeln eine Wurzel auftaucht, muss man aufpassen, dass unter der Wurzel kein negativer Term steht:

• Ist dies der Fall (b² < 4ac bzw. \(\displaystyle \left( \frac{p }{2} \right)^2 < q\)), dann hat die Gleichung keine Lösung.
• Wenn b² = 4ac bzw. \(\displaystyle \left( \frac{p }{2} \right)^2 = q\) ist, gibt es genau eine Lösung, die man manchmal auch eine doppelte Lösung oder, wenn es um quadratische Funktionen geht, eine doppelte Nullstelle nennt.
• Für  b² > 4ac bzw. \(\displaystyle \left( \frac{p }{2} \right)^2 > q\) existieren genau zwei Lösungen.

Den Term D = b² – 4ac, der in der Mitternachtsformel darüber bestimmt, ob der Term unter der Wurzel negativ wird, nennt man auch die Diskriminante (lat. „die Entscheidende“) der quadratischen Gleichung.

Unter Umständen gibt es auch noch einfachere Wege, eine quadratische Gleichung zu lösen. So kann man manchmal x ausklammern, z. B.

\(0 = 2x^2 + 4x = x(2x + 4) \ \ \Leftrightarrow \ \ x = 0 \ \lor \ x = -2\)

Oder es gelingt, die Gleichung zu faktorisieren, dann kann man die Lösungen sofort ablesen (vgl. auch den Satz von Vieta):

\(0 = x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) \ \ \Leftrightarrow \ \ x = -2 \ \lor \ x = -1\)

Schließlich sind natürlich die binomischen Formeln ebenfalls quadratische Gleichungen und können bei der Lösung hilfreich sein.