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Lexikon

Satz von Vieta

5. Klasse ‐ Abitur

Der Satz von Vieta (nach Franciscus Vieta bzw. François Viète) beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung in Normalform und ihren Nullstellen.

Wenn x1 und x2 die Lösungen der Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) sind,

dann ist\((\text I) \quad x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\)

und es gilt\((\text {II}) \quad x_1 + x_2 = -p \ \land \ x_1 \cdot x_2 = q\)

Anmerkung: Beweisen kann man dies durch Ausmultiplizieren der rechten Seite von (I) und anschließenden Koeffizientenvergleich.

 

Es gibt auch eine Version des Vieta-Satzes für kubische Gleichungen (und sogar für Polynome beliebigen Grades, dies wird dann aber sehr schnell sehr unübersichtlich):

Für die Lösungen x1, x2 und x3 der Gleichung \(x^3 + px^2 + qx + r = 0\) gilt

\(\begin{matrix} \quad x_1 + x_2 + x_3 &=& -p \\ \quad x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 &=& q \\ \quad x_1x_2x_3 &=& -r \end{matrix}\)