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Lexikon

Quadratische Funktionen

5. Klasse ‐ Abitur

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung 

y = f(x) = ax2 + bx + c  (\(a, b, c \in \mathbb R; \ a\ne 0\))

heißt quadratische Funktion. Man nennt dabei die Summanden ax2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied. Die Definitionsmenge ist \(D_f = \mathbb R\), die Wertemenge hängt von den Werten der Parameter a, b und c ab.

 

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine ParabelIm Fall a = 1 und b = c = 0 erhält man die einfachste Form einer quadratischen Funktion: y = x2. Ihr Graph ist die Normalparabel (Einheitsparabel) genannt.

 

 

Umkehrbarkeit der quadratischen Funktion

Quadratische Funktionen sind nicht eineindeutig, da z. B. y = f(x) = x2 die zwei Lösungen \(x = \pm \sqrt y\) hat. Darum gibt es keine auf der ganzen Definitionsmenge Df definierte Umkehrfunktion. Wenn man jedoch einschränkt auf \(D_f^*=\mathbb R^+_0\) (rechter Parabelast), ist die Wurzelfunktion \(\displaystyle x = f^{-1}(y) = \sqrt y\) (oberer Ast der Wurzelkurve) Umkehrfunktion von f. Quadratische und Wurzelfunktion gehen durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden (Gerade y = x) ineinander über.

 

 

Der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion y = f(x) = ax2 + bx + ist stets eine irgendwie im Koordinatensystem verschobene und gegebenenfalls gestreckte oder gestauchte, nach oben oder unten offene Parabel.

Der Scheitelpunkt S(s|t) der Parabel lässt sich ermitteln, indem man die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform bringt. Man erhält \(S(s|t) = S \left( \left. - \dfrac {b} {2a} \right|c - \dfrac {b^2} {4a} \right)\).

Die y-Koordinate von S, also t, ist die größte obere bzw. untere Schranke der Funktionswerte und bestimmt somit den Wertebereich der Funktion: \(W_f=\{y \in \mathbb R| y \ge t\}\) (für a > 0, nach oben offene Parabel) bzw. \(W_f=\{y \in \mathbb R| y \le t\}\) (für a < 0, nach unten offene Parabel).

Der Scheitelpunkt ist immer der einzige Extrempunkt des Funktionsgraphen, es gibt keine Wendepunkte.