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Wie du das Volumen eines Kegelstumpfs berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du das Volumen eines Kegelstumpfs berechnest

Aufgabe

Wie viel Liter Wasser passen in das abgebildete Gefäß?

Wie du das Volumen eines Kegelstumpfs berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Verwende die Volumenformel

Wenn du bestimmen sollst, wie viel Wasser in ein Gefäß oder etwas Ähnliches hineinpasst, dann musst du immer das Volumen berechnen. In diesem Fall hat der Behälter die Form eines Kegelstumpfs, daher brauchst du zuerst die Volumenformel für einen Kegelstumpf. Verwende die allgemeine Volumenformel für Stümpfe:

\(V_{Stumpf}=\frac{1}{3}h(A_{G1}+\sqrt{A_{G1}A_{G2}} +A_{G2})\)

Dabei ist \(A_{G1}\) der Flächeninhalt der Grundfläche und \(A_{G2}\) der Flächeninhalt der Deckfläche.

Wie du das Volumen eines Kegelstumpfs berechnest - Abbildung 2

\(A_{G1}= \pi \cdot r_1^2\) und

\(A_{G2}= \pi \cdot r_2^2\)

Also kannst du die Volumenformel so umschreiben:

\(V_{Kegelstumpf}=\frac{1}{3}h(\pi \cdot r_1^2+\sqrt{\pi \cdot r_1^2 \cdot \pi \cdot r_2^2} +\pi \cdot r_2^2)= \frac{1}{3}h \cdot \pi(r_1^2+r_1r_2 +r_2^2)\)

Da du aber die Radien \(r_1\) und \(r_2\) noch nicht weißt, musst du sie erst bestimmen.

Schritt 2: Bestimme die Radien 

Die Radien \(r_1\) und \(r_2\) kannst du mithilfe der Gleichung \(d=2r\) einfach berechnen.

\(r_1= \frac{1}{2}d_1=\frac{1}{2}\cdot30 \ cm=15 \ cm \)

\(r_2= \frac{1}{2}d_2=\frac{1}{2}\cdot 20 \ cm=10 \ cm \)

Schritt 3: Berechne das Volumen

Setze alle Werte in deine Volumenformel ein:

\(V_{Kegelstumpf}= \frac{1}{3}h \cdot \pi(r_1^2+r_1r_2 +r_2^2)\)

\(V_{Kegelstumpf}=\frac{1}{3} \cdot 40 \ cm \cdot \pi \cdot((15 \ cm)^2+15 \ cm \cdot 10 \ cm +(10 \ cm)^2)\)

\(V_{Kegelstumpf}= \frac{19.000}{3} \pi \ cm^3 \approx 19.897 \ cm^3\)

Jetzt musst du nur noch das Volumen in Liter umrechnen. Da 1000 cm³ einem Liter entsprechen, ergibt sich das folgende Volumen:

\(V_{Kegelstumpf} \approx 19,9 \ l\)

Lösung

Das Gefäß kann mit fast 20 Litern Wasser gefüllt werden.

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