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8. ‐ 9. Klasse

Strahlensätze

Dauer: 55 Minuten

Was sind Strahlensätze in der Mathematik?

Die Strahlensätze formulieren Gesetzmäßigkeiten, die bei mit parallelen Geraden durchzogenen gekreuzten Geraden auftreten. Man nennt die durch die Überschneidung entstehende Figur Strahlenfigur. Der Schnittpunkt der Strahlenfigur wird mit S bezeichnet; die Schnittpunkte der Figur mit den Geraden werden mit den Buchstaben A und B bzw. A und B bezeichnet. Es ist egal, ob die zueinander parallelen Geraden auf derselben Seite vom Scheitel S liegen oder nicht. In der Schule werden vor allem zwei Sätze behandelt, die die Streckenverhältnisse in unterschiedlichen Fällen beschreiben. Mit den Abbildungen kannst du dir deutlich machen, welche Strecken im Verhältnis zueinander stehen. Es gilt:

  1. ¯SA¯SB=¯SA¯SB
  2. ¯AB¯AB=¯SA¯SA

Diese Sätze helfen dir beim Bestimmen von Seitenlängen, wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind. Unter anderem müssen mindesten drei Streckenlängen bekannt sein und nach der gesuchten Länge umgestellt werden.

Wie das geht, lernst du in den unten stehenden Lernwegen. Solltest du schon fit im Umgang mit den Strahlensätzen sein, kannst du dir die Klassenarbeiten zum Thema anschauen.

Strahlensatzfigur und ihre Merkmale

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Strahlensätze

Strahlensätze (einfach)
Aufgabe:
Füge passende Wörter in die Lücken ein.
Um die Strahlensätze zu formulieren, ist es sinnvoll, eine sogenannte wie diese zu betrachten.
 
 
 
Diese Figur besteht aus zwei , die sich im Punkt schneiden. Diese werden wiederum von zwei anderen Geraden geschnitten, die zueinander verlaufen. Der erste und der zweite beschreiben, wie sich die unterschiedlichen Streckenabschnitte zueinander verhalten.
Strahlensätze (mittel)
Aufgabe:
Markiere alle falschen Wörter im Text.
Zum Aufstellen der Strahlensätze kann es helfen, eine Strahlensatzfigur zu zeichnen. Diese besteht aus drei Strahlen, die durch ein gemeinsames Strahlzentrum verlaufen. Diese beiden Strahlen werden von zwei antiparallelen Geraden geschnitten. Die Strahlen können nun in verschiedene Teilstrecken gegliedert werden. Der zweite Strahlensatz beschreibt, wie sich die Teilstrecken vom Strahlzentrum bis zu dem ersten und dem zweiten Schnittpunkt der Geraden auf den Strahlen zueinander verhalten. Der erste Strahlensatz bezieht die beiden Strecken entlang der Geraden zwischen den beiden Strahlen mit ein.
Richtig!
Falsch!
Vergessen!
Strahlensätze (schwer)
Aufgabe:
Klicke die richtigen Formulierungen des ersten Strahlensatzes für diese Strahlensatzfigur an.
 

Wie du die Strahlensätze anwendest

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iStock.com/Devonyu, iStock.com/Irina_Strelinkova

Strahlensätze anwenden

Strahlensätze anwenden (einfach)
Aufgabe:
Eine typische Aufgabe in Klassenarbeiten ist es, fehlende Teilstrecken bei einer Strahlensatzfigur mithilfe der Strahlensätze zu berechnen.
Dafür musst du dir zuerst klarmachen, was die Strahlen und was die parallelen Geraden bei der Figur sind. Ordne hierfür die Begriffe den richtigen Stellen in der Figur zu.
Greifbares Element 1 von 6.
Zentrum
Greifbares Element 2 von 6.
Strahl
Greifbares Element 3 von 6.
Strahl
Greifbares Element 4 von 6.
Gerade
Greifbares Element 5 von 6.
Gerade
Ablagezone 1 von 5.
Ablagezone 2 von 5.
Ablagezone 3 von 5.
Ablagezone 4 von 5.
Ablagezone 5 von 5.
Strahlensätze anwenden (mittel)
Aufgabe:
Zu dieser Strahlensatzfigur hast du die Längen zx und w gegeben. Die Länge v ist gesucht.
 
 
Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist:
Zur Lösung der Aufgabe wird der zweite Strahlensatz benutzt.
Strahlensätze anwenden (schwer)
Aufgabe:
Tom findet in seinem Schrank eine alte Murmel mit einem Durchmesser von 9 mm. Eines Abends stellt er fest, dass diese Murmel den Vollmond komplett verdeckt, wenn er sie einen Meter von seinem Auge entfernt hält. Sein Vater erzählt ihm, dass der Mond 380000 km von ihnen entfernt ist. Nun möchte Tom den Durchmesser des Mondes berechnen.
 
Überlege, mit welcher Gleichung Tom dies berechnen könnte. Dabei ist a1 der Abstand von Tom zur Murmel, a2 der Abstand von Tom zum Mond, h1 der Durchmesser der Kugel und h2 der gesuchte Durchmesser des Mondes.
 

Wie du fehlende Größen einer Strahlensatzfigur berechnest

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Fehlende Größen in Strahlensatzfiguren berechnen

Fehlende Größen in Strahlensatzfiguren berechnen (einfach)

Aufgabe:
Zieh die Wörter an die passenden Stellen im Text.

zweite
gegebenen
Strahlen
gesuchten
erste
Ergebnis
Strahlensätze
Die
werden oft verwendet, um fehlende Strecken einer Strahlensatzfigur zu berechnen. Um herauszufinden, welchen der beiden Strahlensätze du verwenden sollst, musst du dir bei der vorliegenden Figur klarmachen, was die
 und was die Geraden sind. Der
Strahlensatz verwendet nur Strecken auf den beiden Strahlen, während der
Strahlensatz Strecken auf den beiden Geraden und auf einem Strahl verwendet. Nachdem du den richtigen Strahlensatz für die Aufgabe gefunden hast, kannst du die Gleichung nach der
Strecke auflösen. Dann setzt du alle
Größen in die Gleichung ein und rechnest das Ergebnis aus. Falls mehrere Strecken gesucht werden, kannst du nach jeder Rechnung dein
für die gesuchte Strecke in die Strahlensatzfigur eintragen. So behältst du immer den Überblick. 
Fehlende Größen in Strahlensatzfiguren berechnen (mittel)
Aufgabe:
Susi soll die beiden Gleichungen des ersten Strahlensatzes für diese Strahlensatzfigur aufschreiben. Sie notiert:
 
¯ZB¯ZA=¯ZB¯ZA  und  ​¯AB¯ZA=¯ZA¯AB.
 
Entscheide, ob Susi die Aufgabe richtig oder falsch gelöst hat.
 
Fehlende Größen in Strahlensatzfiguren berechnen (schwer)
Aufgabe:
Strahlensatzfiguren können beliebig kompliziert sein. Zum Beispiel können sie eine höhere Anzahl von Strahlen und Geraden haben, wie bei dieser Figur.
Stell den Strahlensatz auf, mit dem du am einfachsten die Streckenlänge g berechnen kannst, wenn die Strecken bc und h gegeben sind.
 
 
g: h: 
 

Strahlensätze

Strahlensätze (einfach)

Aufgabe:
Platziere die Wörter an die passenden Stellen im Text.

X-Figur
Teilstrecken
Strahlensatzfigur
gemeinsamen
gleichen
Strahlen
parallelen
Geraden
Die sogenannte V-Figur ist ein Beispiel für eine
. Sie besteht aus zwei
, die beide von einem
Punkt ausgehen, dem Strahlzentrum. Die beiden Strahlen werden von zwei
Geraden geschnitten. Die Geraden befinden sich beide auf der
Seite des Strahlzentrums. Die Strahlensätze beschreiben, wie sich die einzelnen
auf den Strahlen und den Geraden zueinander verhalten. Eine Strahlensatzfigur, bei der sich die beiden parallelen
jeweils auf einer anderen Seite des Strahlzentrums befinden, wird
genannt.
Strahlensätze (mittel)
Aufgabe:
Entscheide, welche zwei Gleichungen den zweiten Strahlensatz für diese Figur beschreiben.
 
Strahlensätze (schwer)
Aufgabe:
Die Länge l eines Sees soll bestimmt werden. Dafür werden die Strecken ab und c mit  a=200 mb=600 m und c=150 m gemessen. Errechne die Länge des Sees mithilfe des Strahlensatzes und klicke das richtige Ergebnis an.
 

Was du wissen musst

  • Es gibt insgesamt drei Strahlensätze. Sie unterscheiden sich dadurch, welche Seiten ins Verhältnis gesetzt werden. Zwei der Sätze beschreiben die Seitenverhältnisse, wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen gekreuzt werden. Das sind die Sätze, die du in der Schule kennenlernen wirst.

    Zeichnung einer beschrifteten Strahlenfigur
    Zeichnung einer Strahlenfigur mit Parallelen an unterschiedlichen Seiten

    Der dritte Strahlensatz beschreibt die Seitenverhältnisse von drei sich in einem Punkt schneidenden Geraden. Dabei gilt:

    ¯AC¯AC=¯BC¯BC

    Der dritte Strahlensatz ist im Wesentlichen eine Folgerung aus dem zweiten Satz:

    ¯AB¯AB=¯SB¯SB¯BC¯BC=¯SB¯SB¯AB¯AB=¯BC¯BC

    In jedem Fall ist es aber nicht von Belang, ob sich die Parallelen auf derselben Seite vom Scheitel S befinden oder nicht.

    Zeichnung einer Strahlenfigur zum dritten Strahlensatz

     

  • Wenn du bei der Bearbeitung einer Aufgabe einen Strahlensatz anwenden willst, musst du erst prüfen, ob du das überhaupt darfst. Schaue, ob ...

    • es sich um eine Strahlenfigur handelt,
    • mindestens zwei nicht identische Parallelen vorhanden sind,
    • genug Informationen über die Seitenlängen bekannt sind.

    Du musst mindestens drei Seitenlängen gegeben haben, sonst kannst du keine eindeutige Gleichung aufstellen. Erst dann kannst du dich damit auseinandersetzen, welchen Strahlensatz du anwenden musst.

    Beim Arbeiten mit Strahlensätzen ist das Anfertigen einer Skizze unerlässlich. Zeichne dafür aus der Hand ein Strahlenfigur, die der in der Aufgabenstellung ähnelt. Als Nächstes solltest du die Strecken mit bekannter Länge in unterschiedlichen Farben einzeichnen sowie die Strecke, deren Länge gesucht ist. Da für das Arbeiten mit Strahlensätzen immer drei Strecken gegeben sein müssen, wovon jeweils zwei parallel zueinander sind, kannst du dir den entsprechenden Satz raussuchen.

  • Mithilfe der Strahlensätze kann man indirekt die Höhe von Gebilden messen.

    So soll der Mathematiker Thales von Milet (bekannt durch den Satz des Thales) schon in der Antike die Höhe der Cheopspyramide mithilfe der Strahlensätze berechnet haben. Dazu habe er einen Stock verwendet. Dieser hat die Länge h und sein Schatten eine Länge l. Mit dem zweiten Strahlensatz ¯AB¯AB=¯SA¯SA konnte er nun diese Größen ins Verhältnis zur Pyramidenhöhe H und der Länge L ihres Schattens setzen. Er erhielt:

    lL=hHH=L  hl

    Pyramide, wo der Schatten gemessen werden soll.

    Aber auch andere Vermessungen sind möglich, wie zum Beispiel die Breite eines Flusses oder der Abstand zu einem Berg. Das Prinzip ist hierbei immer dasselbe.

  • Dreiecke sind sich ähnlich, wenn all ihre Winkel gleich groß sind. Daraus folgt, dass auch alle Seitenlängen im selben Verhältnis zueinander stehen. Es gilt also für die ähnlichen Dreiecke ABC und ABC die Gleichung:

    ¯AB¯AB=¯BC¯BC=¯AC¯AC

    Die Strahlensätze beschreiben auch konstante Seitenverhältnisse in bestimmten Dreiecken. Es liegt also nahe, dass sich die Dreiecke in einer solchen Strahlenkonstruktion ähneln. Das ist auch tatsächlich der Fall und lässt sich schnell prüfen. Denn aufgrund der parallelen Seiten folgt mit dem Stufen- und Wechselwinkelsatz die Äquivalenz aller Winkelmaße. Das kann man sehr schön erkennen, wenn man die ähnlichen Dreieck wie in der Abbildung übereinanderlegt. So gesehen sind die Strahlensätze eine spezielle Variante des Ähnlichkeitssatzes.

    Zeichnung zur Veranschaulichung des Zusammenhangs zwischen Ähnlichkeit und Strahlensatz