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Strahlensätze

8. ‐ 9. Klasse Dauer: 55 Minuten

Die Strahlensätze formulieren Gesetzmäßigkeiten, die bei mit parallelen Geraden durchzogenen gekreuzten Geraden auftreten. Man nennt die durch die Überschneidung entstehende Figur Strahlenfigur. Der Schnittpunkt der Strahlenfigur wird mit \(S\) bezeichnet; die Schnittpunkte der Figur mit den Geraden werden mit den Buchstaben \(A\) und \(B\) bzw. \(A'\) und \(B'\) bezeichnet. Es ist egal, ob die zueinander parallelen Geraden auf derselben Seite vom Scheitel \(S\) liegen oder nicht. In der Schule werden vor allem zwei Sätze behandelt, die die Streckenverhältnisse in unterschiedlichen Fällen beschreiben. Mit den Abbildungen kannst du dir deutlich machen, welche Strecken im Verhältnis zueinander stehen. Es gilt:

  1. \(\frac{\overline{SA}}{\overline{SB}} = \frac{\overline{SA'}}{\overline{SB'}}\)
  2. \(\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}\)

Diese Sätze helfen dir beim Bestimmen von Seitenlängen, wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind. Unter anderem müssen mindesten drei Streckenlängen bekannt sein und nach der gesuchten Länge umgestellt werden.

Wie das geht, lernst du in den unten stehenden Lernwegen. Solltest du schon fit im Umgang mit den Strahlensätzen sein, kannst du dir die Klassenarbeiten zum Thema anschauen wie zum Beispiel Ähnlichkeit und Strahlensatz.

Zeichnung einer beschrifteten Strahlenfigur
Zeichnung einer Strahlenfigur mit Parallelen an unterschiedlichen Seiten

 

 

Strahlensatzfigur und ihre Merkmale

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Strahlensätze

Strahlensätze

Strahlensätze

Wie du die Strahlensätze anwendest

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Strahlensätze anwenden

Strahlensätze anwenden

Strahlensätze anwenden

Wie du fehlende Größen einer Strahlensatzfigur berechnest

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Fehlende Größen in Strahlensatzfiguren berechnen

Fehlende Größen in Strahlensatzfiguren berechnen

Fehlende Größen in Strahlensatzfiguren berechnen

Schlussrunde: Strahlensätze

Schlussrunde: Strahlensätze

Schlussrunde: Strahlensätze

Was du wissen musst

  • Wie viele Strahlensätze gibt es?

    Es gibt insgesamt drei Strahlensätze. Sie unterscheiden sich dadurch, welche Seiten ins Verhältnis gesetzt werden. Zwei der Sätze beschreiben die Seitenverhältnisse, wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen gekreuzt werden. Das sind die Sätze, die du in der Schule kennenlernen wirst. Der dritte Strahlensatz beschreibt die Seitenverhältnisse von drei sich in einem Punkt schneidenden Geraden. Dabei gilt:

    \(\frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}\)

    Der dritte Strahlensatz ist im Wesentlichen eine Folgerung aus dem zweiten Satz:

    \(\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}\\ \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}\\ \Rightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}\)

    In jedem Fall ist es aber nicht von Belang, ob sich die Parallelen auf derselben Seite vom Scheitel \(S\) befinden oder nicht.

    Zeichnung einer Strahlenfigur zum dritten Strahlensatz

     

  • Wie erkennt man, welchen Strahlensatz man verwenden kann?

    Wenn du bei der Bearbeitung einer Aufgabe einen Strahlensatz anwenden willst, musst du erst prüfen, ob du das überhaupt darfst. Schaue, ob ...

    • es sich um eine Strahlenfigur handelt,
    • mindestens zwei nicht identische Parallelen vorhanden sind,
    • genug Informationen über die Seitenlängen bekannt sind.

    Du musst mindestens drei Seitenlängen gegeben haben, sonst kannst du keine eindeutige Gleichung aufstellen. Erst dann kannst du dich damit auseinandersetzen, welchen Strahlensatz du anwenden musst.

    Beim Arbeiten mit Strahlensätzen ist das Anfertigen einer Skizze unerlässlich. Zeichne dafür aus der Hand ein Strahlenfigur, die der in der Aufgabenstellung ähnelt. Als Nächstes solltest du die Strecken mit bekannter Länge in unterschiedlichen Farben einzeichnen sowie die Strecke, deren Länge gesucht ist. Da für das Arbeiten mit Strahlensätzen immer drei Strecken gegeben sein müssen, wovon jeweils zwei parallel zueinander sind, kannst du dir den entsprechenden Satz raussuchen.

  • Wofür braucht man Strahlensätze?

    Mithilfe der Strahlensätze kann man indirekt die Höhe von Gebilden messen.

    So soll der Mathematiker Thales von Milet (bekannt durch den Satz des Thales) schon in der Antike die Höhe der Cheopspyramide mithilfe der Strahlensätze berechnet haben. Dazu habe er einen Stock verwendet. Dieser hat die Länge \(h\) und sein Schatten eine Länge \(l\). Mit dem zweiten Strahlensatz \(\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}\) konnte er nun diese Größen ins Verhältnis zur Pyramidenhöhe \(H\) und der Länge \(L\) ihres Schattens setzen. Er erhielt:

    \(\frac{l}{L} = \frac{h}{H} \Rightarrow H = \frac{L\ \cdot\ h}{l}\)

    Pyramide, wo der Schatten gemessen werden soll.

    Aber auch andere Vermessungen sind möglich, wie zum Beispiel die Breite eines Flusses oder der Abstand zu einem Berg. Das Prinzip ist hierbei immer dasselbe.

  • Wie hängen die Strahlensätze mit der Ähnlichkeit von Dreiecken zusammen?

    Dreiecke sind sich ähnlich, wenn all ihre Winkel gleich groß sind. Daraus folgt, dass auch alle Seitenlängen im selben Verhältnis zueinander stehen. Es gilt also für die ähnlichen Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle A'B'C'\) die Gleichung:

    \(\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}}\)

    Die Strahlensätze beschreiben auch konstante Seitenverhältnisse in bestimmten Dreiecken. Es liegt also nahe, dass sich die Dreiecke in einer solchen Strahlenkonstruktion ähneln. Das ist auch tatsächlich der Fall und lässt sich schnell prüfen. Denn aufgrund der parallelen Seiten folgt mit dem Stufen- und Wechselwinkelsatz die Äquivalenz aller Winkelmaße. Das kann man sehr schön erkennen, wenn man die ähnlichen Dreieck wie in der Abbildung übereinanderlegt. So gesehen sind die Strahlensätze eine spezielle Variante des Ähnlichkeitssatzes.

    Zeichnung zur Veranschaulichung des Zusammenhangs zwischen Ähnlichkeit und Strahlensatz