Obersumme und Untersumme spielen eine zentrale Rolle bei der Herleitung des bestimmten Integrals als Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen Gf einer Funktion f und der x-Achse. Da man in der Geometrie zunächst nur die Flächen von Figuren mit geraden Kanten berechnen kann, nähert man die Fläche unter einer beliebig gekrümmten Begrenzungskurve (nämlich Gf) durch eine Abfolge von immer mehr immer schmaleren Rechtecken.
Wir nehmen dazu zunächst an, dass f im betrachteten Intervall [a; b] stetig, nicht negativ und monoton steigend ist. Dann werden der gesuchten Fläche n Rechtecke mit gleicher Breite \((b - a) : n\) ein- bzw. umbeschrieben (siehe Abbildung). Die Summe der einbeschriebenen Rechteckflächen (Oberkante unter Gf) heißt Untersumme \(\underline{A_n}\), die Summe der umbeschriebenen Rechteckflächen (Oberkante über Gf) ist die Obersumme \(\overline{A_n}\).
Durch eine fortgesetzte Verkleinerung der Rechtecksbreiten (z. B. Halbierung) erhält man immer bessere Näherungswerte.
Offensichtlich liegt die gesuchte Fläche \(A_a^b\) für alle \(n \in \mathbb N\) zwischen \(\underline{A_n}\) und \(\overline{A_n}\):
\(\overline{A_n} < A_a^b < \overline{A_n}\)
Wenn jetzt die Grenzwerte der Ober- und Untersummenfolge existieren und auch noch gleich groß sind, dann muss dieser gemeinsame Grenzwert von Ober- und Untersumme gleich dem gesuchten Flächeninhalt sein. Man nennt dann die Funktion f integrierbar und den gemeinsamen Grenzwert das bestimmte Integral über f(x) in den Grenzen von a bis b:
\(\displaystyle A_a^b = \lim_{n \to \infty} \overline{A_n} = \lim_{n \to \infty} \overline{A_n} = \int_a^b f(x) \, \text dx\)
Wenndie Funktion f im Intervall [a; b] negativ statt positiv ist (Gf also unter der x-Achse liegt), dann erhält man das Negative der Flächenmaßzahl:
\(\displaystyle A_a^b = - \int_a^b f(x) \, \text dx\)
Wenn die Funktion Nullstellen im Intervall [a; b] hat, also das Vorzeichen wechselt, muss man also das bestimmte Integral in mehrere Teilstücke mit jeweils gleichem Vorzeichen der Funktionswerte aufteilen.
