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Zentrische Streckung

8. ‐ 9. Klasse Dauer: 60 Minuten

Was ist eine zentrische Streckung?

Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, die alle Strecken um ein bestimmtes Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dieses Verhältnis gibt der Streckfaktor \(k\) (auch \(m\) genannt) an. Bei der zentrischen Streckung wird, wie der Name schon sagt, immer von einem Streckzentrum \(Z\) ausgegangen. 

Du kannst aber nicht nur einzelne Strecken vergrößern, sondern auch andere geometrische Figuren wie z. B. ein Dreieck. Der Streckfaktor kann kleiner oder größer als \(0\) sein.

In den verschiedenen Übungen lernst du, worauf du achten musst. Anschließend kannst du Klassenarbeiten durchrechnen, um dein Wissen zu überprüfen.

Zentrische Streckung

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Zentrische Streckung

Zentrische Streckung

Zentrische Streckung

Wie du Figuren zentrisch streckst

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Figuren zentrisch strecken

Figuren zentrisch strecken

Figuren zentrisch strecken

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest

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Streckungsfaktor und Streckungszentrum finden

Streckungsfaktor und Streckungszentrum finden

Streckungsfaktor und Streckungszentrum finden

Schlussrunde: Zentrische Streckung

Schlussrunde: Zentrische Streckung

Schlussrunde: zentrische Streckung

Was du wissen musst

  • Welche Arten von zentrischen Streckungen gibt es?

    Es gibt zwei Arten von zentrischen Streckungen. Sie unterscheiden sich durch den Wert des Streckfaktors \(k\).

    1. Ist \(\vert k\vert \color{red}{<} 1\), ist es eine Stauchung, die Abbildung ist kleiner als die Figur.
    2. Ist \(\vert k\vert \color{red}{ >} 1\), ist es eine Streckung, die Abbildung ist größer als die Figur.

     

    Je nachdem ob \(k\) eine positive oder eine negative Zahl ist, können wir sagen, wo die Abbildung sein wird:

    • Ist der Streckfaktor \(k \color{red}{>} 0\), dann ist die Abbildung auf der gleichen Seite wie die Figur.
    • Ist der Streckfaktor \(k \color{red}{<} 0\), dann ist die Abbildung auf der anderen Seite vom Streckzentrum \(Z\).
  • Welche Aufgaben gibt es zur zentrischen Streckung?

    Bei den Aufgaben kommt es darauf an, ob du den Streckfaktor \(k\) und das Streckzentrum \(Z\) gegeben hast oder nicht. Die meisten Aufgaben zur zentrischen Streckung lassen sich in folgende drei Aufgabentypen einteilen:

    • Du musst eine zentrische Streckung durchführen. Dabei sollst du eine Figur auf einem weißen oder einem karierten Blatt zentrisch strecken. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind gegeben.
    • Du hast eine zentrische Streckung mit der Ausgangsfigur und der Abbildung gegeben und sollst herausfinden, wo das Streckzentrum \(Z\) ist.
    • Du hast wieder die Ausgangsfigur und die Abbildung einer zentrischen Streckung gegeben und sollst herausfinden, was der Streckfaktor \(k\) ist.
  • Wie führt man zentrische Streckung durch?

    In dieser Anleitung nehmen wir ein Dreieck als Ausgangsfigur. Du musst sehr genau zeichnen, da die Abbildung sonst verformt wird. Am besten benutzt du kariertes Papier, sodass du noch genauer arbeiten kannst. 

    Schritt 1

    Du hast schon das Streckzentrum \( \color{red}{Z}\) rot markiert und ein Dreieck \(\Delta ABC\).

    Nun zeichnest du drei Geraden in das Bild. Eine geht durch \( \color{red}{Z}\) und \({A}\), die andere durch \( \color{red}{Z}\) und \({B}\) und die dritte durch \( \color{red}{Z}\) und \({C}\). Das sieht dann wie in der Abbildung aus.

     

    Schritt 2

    Jetzt ist es wichtig, genau zu arbeiten. Du misst die Länge der Strecken \(\overline{ZA}\)\(\overline{ZB} \) und \(\overline{ZC}\). Ihre Längen sind \(0{,}6 \,\text{cm}\), \(4{,}0\, \text{cm}\) und \(4{,}0\, \text{cm}\). Anschließend multiplizierst du den Streckfaktor \(k= 2{,}5\) mit den Längen dieser Strecken. Du rechnest:

     \(\overline{ZA'}=0{,}6 \,\text{cm} \cdot 2{,}5 = 1{,}5\,\text{cm}\)

    \(\overline{ZB'}=4{,}0 \,\text{cm} \cdot 2{,}5 = 10{,}0\,\text{cm}\)

    \(\overline{ZC'}=4{,}0 \,\text{cm} \cdot 2{,}5 = 10{,}0 \,\text{cm}\)

    Dadurch erhältst du die Abstände der Bildpunkte vom Streckzentrum.

    Dreieck mit Punkten und Geraden zwischen Zentrum und Punkten

    Schritt 3

    Beim vorletzten Schritt musst du von \( \color{red}{Z}\) ausgehend die Länge auf den drei Geraden eintragen. Du gehst von \( \color{red}{Z}\) \(1{,}5 \,\text{cm}\) entlang der ersten Gerade und machst einen Strich. Bei der zweiten Gerade machst du das Gleiche mit \(10{,}0\,\text{cm}\) und bei der dritten Gerade mit \(10{,}0\, \text{cm}\). Dadurch entstehen drei neue Punkte \( \color{blue}{A'}\)\( \color{blue}{B'}\) und \( \color{blue}{C'}\).

    Dreieck mit Zentrum und Gerade zwischen Punkten und Zentrum. Punkte wurden mit dem Streckungsfaktor 2,5 gestreckt.

    Schritt 4

    Im letzten Schritt verbindest du die drei Punkte \(A', B'\) und \(C'\) und erhältst deine Abbildung: das Dreieck \(\Delta A'B'C'\).

    Ursprüngliches Dreieck und gestrecktes Dreieck mit dem Streckungsfaktor 2,5

     

  • Wie hängt die zentrische Streckung mit anderen Ähnlichkeitsabbildungen zusammen?

     

    Wenn der Streckfaktor \(k = 1 \) ist, ändert sich bei der Figur nichts. Denn die Strecken ergeben mit \(1\) multipliziert wieder das Gleiche wie vorher. Eine zentrische Streckung mit Streckfaktor \(k = 1 \) ist also das Gleiche wie die Identitätsabbildung. Bei dieser Abbildung verändert sich nichts. Die Identitätsabbildung ist auch eine Ähnlichkeitsabbildung

    Wenn der Streckfaktor \(k = - 1 \) ist, dreht sich die Figur um. Denn die Stecken ergeben mit \(-1\) multipliziert genau das Gegenteil. \(5\) wird zu \(- 5\). Eine zentrische Streckung mit Streckfaktor \(k = - 1 \) ist demnach nichts anderes als eine Punktspiegelung oder eine Drehung um \(180^{ \circ}\). Du kannst dir das so vorstellen, als ob die Figur sich einmal auf den Kopf und auf die andere Seite dreht. Das Streckzentrum \(Z\) ist dann auch das Drehzentrum.

    Zwei Dreiecke, die an einem Punkt gespiegelt wurden.