Was du wissen musst
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Welche Arten von Vierecken gibt es?
Wenn du vier beliebige Punkte zu einem Viereck verbindest, können sehr ausgefallene Vierecke entstehen. Es gibt
- überschlagene, bei denen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks liegen;
- konkave, bei denen eine Diagonale außerhalb des Vierecks liegt, und
- konvexe Vierecke, bei denen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen.
Vor allem zu Letzteren gehören viele Arten von Figuren, die gewisse Symmetrien aufweisen und die du somit kategorisieren kannst. Es gibt Vierecke, die punktsymmetrisch, achsensymmetrisch zu einer Achse oder sogar achsensymmetrisch zu mehreren Achsen sind.
- Punktsymmetrische Vierecke sind z. B. das Parallelogramm, die Raute, das Rechteck und das Quadrat.
- Achsensymmetrisch zu einer Achse sind z. B. das Drachenviereck und das gleichschenklige Trapez.
- Die Raute und das Rechteck sind achsensymmetrisch zu zwei, das Quadrat sogar zu vier Achsen.
Im Haus der Vierecke kannst du dir sie dir einmal in einer Übersicht anschauen.
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Welche Eigenschaften von Vierecken sind wichtig?
Du kannst anhand einiger Eigenschaften die Merkmale der einzelnen Vierecke herausarbeiten und somit ihre Zusammenhänge erkennen. In einem Viereck können:
- gegenüberliegende Seiten parallel,
- gleich lang oder beides sein.
- Winkel können gleich groß und
- Diagonalen senkrecht zueinander sein.
Diese Merkmale helfen dir beim Konstruieren von Vierecken. Parallele Seiten kannst du zum Beispiel mit einem Geodreieck leicht zeichnen.
Wie einige Vierecke durch ihre Eigenschaften zusammenpassen, kannst du in dem Video Vierecke und ihre Symmetrien sehen. Die Zusammenhänge des Hauses der Vierecke werden dir dort noch einmal genauer erklärt.
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Worauf muss man beim Konstruieren von Vierecken achten?
Wenn du einzelne Seitenlängen und Winkelgrößen eines Vierecks kennst, kannst du es konstruieren. Es kommt dabei ganz auf die Art des Vierecks an. Ein Quadrat kannst du schon eindeutig konstruieren, wenn nur eine Seite gegeben ist; bei einem Rechteck benötigst du die Seitenlängen von zwei benachbarten Seiten. Die Eigenschaften dieser Vierecke, nämlich die rechten Winkel und parallelen Seiten, helfen dir bei der Konstruktion.
Anders als das Dreieck ist ein allgemeines Viereck nicht eindeutig aus seinen Seiten konstruierbar. Du benötigst dafür zusätzlich die Angabe einer Diagonale oder eines Winkels oder aber fünf andere Komponenten.
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Wie konstruiert man ein Viereck?
Ein Viereck kann grundsätzlich schon allein mit Zirkel und skalenlosem Lineal konstruiert werden. Die Konstruktion mit einem Geodreieck funktioniert dagegen nur, wenn du von fünf benötigten Komponenten mindestens zwei Winkel gegeben hast. Dann kannst du Strecke für Strecke mit dem entsprechenden Winkel konstruieren und die letzten Seiten verbinden.
Beispiel
Konstruiere das Viereck mit folgenden Komponenten:
\(\begin{align} a&= 8 \text{ cm} \\ d&=5 \text{ cm} \\ \alpha &=75^° \\ \beta &= 90^°\\ \delta &= 78^° \end{align}\)
Schritte:
- Zeichne die Strecke \(a\),
- markiere die Punkte \(A\) und \(B\),
- trage den Winkel \(\alpha\) in \(A\) mit einem Schenkel von \(d=5 \text{ cm}\) ab,
- markiere den Punkt \(D\),
- trage den Winkel \(\beta\) in \(B\) mit einem längeren Schenkel ab,
- trage den Winkel \(\delta\) in \(D\) mit einem längeren Schenkel ab,
- markiere den Schnittpunkt der beiden Schenkel mit \(C\),
- markiere die Strecke von \(D\) nach \(C\) mit \(c\),
- markiere die Strecke von \(B\) nach \(C\) mit \(b\).
