Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du Graphen von ganzrationalen Funktionen verschiebst, streckst und spiegelst


Aufgabe

Betrachte die ganzrationale Funktion \(f(x) = x^3-2x^2-4x+3\).

a) Verschiebe den Graphen von \(f(x)\) um 3 Einheiten nach unten auf der y-Achse und stauche ihn um den Faktor \(\frac{1}{2}\).

b) Spiegle den Graphen von \(f(x)\) an der y-Achse und strecke ihn um den Faktor 2.

Das musst du wissen

Hier findest du vorab eine kleine Übersicht über die Veränderungen, die man an einem Funktionsgraphen bewirken kann, und auf welche Art und Weise das passiert.

Verschiebungen

Eine Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der y-Achse bedeutet, dass jeder Funktionswert höher oder tiefer liegen soll. Dies bewirkst du, indem du zu allen Funktionswerten die jeweils gleiche Zahl addierst (bei einer Verschiebung nach oben) oder die jeweils gleiche Zahl von allen Funktionswerten abziehst (bei einer Verschiebung nach unten). Eine Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der x-Achse bedeutet, dass jeder Funktionswert weiter links oder weiter rechts liegen soll. Das bewirkst du, indem du für den neuen Funktionsgraphen statt \(f(x)\) jeweils einen Funktionswert betrachtest, der von der ursprünglichen Funktion weiter links angenommen wird, also ein \(f(x-b)\), oder erst weiter rechts angenommen wird, also \(f(x+b).\) Wenn du statt \(f(x)\) den „früheren“ Wert \(f(x-b)\) betrachtest, ziehst du den Graphen quasi entlang der x-Achse nach rechts. Ersetzt du also das Argument \(x\) im Funktionsterm durch das Argument \(x-b\), bewirkt das eine Verschiebung des Graphen um \(b\) Einheiten nach rechts.

Streckungen/Stauchungen

Wenn du einen Funktionsgraphen strecken oder stauchen willst, bedeutet das anschaulich, dass du ihn entlang der y-Achse auseinanderziehst oder zusammendrückst. Im Gegensatz zu einer schlichten Verschiebung bedeutet das Strecken allerdings, dass größere Funktionswerte weiter verschoben werden (also um mehr Einheiten) als kleinere. Dies bewirkst du, indem du den Funktionsterm deiner Funktion mit einem Faktor \(>1\) multiplizierst. Bei einer Multiplikation mit einem Faktor \(<1\) bewirkst du eine Stauchung.

Spiegelungen

Willst du einen Funktionsgraphen an einer der Koordinatenachsen spiegeln, heißt das anschaulich, dass du den Graphen entlang der ausgewählten Achse „umklappst“, also die Seite rechts von der y-Achse nach links klappst und umgekehrt bzw. den Teil des Graphen oberhalb der x-Achse nach unten klappst und umgekehrt. Das geschieht, indem du entweder statt dem Funktionswert von \(x\) den Funktionswert von \(-x\) betrachtest (bei Spiegelung an der y-Achse) oder indem du von allen Funktionswerten jeweils das Vorzeichen wechselst, also den Graphen von \(-f(x)\) betrachtest (bei Spiegelung an der x-Achse).

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Verschiebe den Graphen von \(f(x)\) um 3 Einheiten nach unten auf der y-Achse und stauche ihn um den Faktor \(\frac{1}{2}\).

Schritt 1: Führe die entsprechenden Operationen am Funktionsterm durch

Wenn du mehrere Veränderungen an einem Graphen durchführen sollst, ist es wichtig, dass du die vorgegebene Reihenfolge beibehältst, da es sonst zu Fehlern kommen kann. In Aufgabenteil a) sollst du den Graphen zuerst um 3 Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschieben, also \(-3\) vom Funktionsterm abziehen. Anschließend wird der verschobene Graph mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) multipliziert, um die Stauchung zu erzeugen. Dem neuen Funktionsgraphen kannst du eine neue Bezeichnung geben, du erhältst:

\(g(x)=\frac{1}{2}(f(x)-3)\)

Schritt 2: Forme den Funktionsterm um

Um den neuen Graphen zeichnen zu können bzw. um eine Wertetabelle zu erstellen, solltest du den neuen Funktionsterm explizit bestimmen. Du setzt also ein und löst auf.

\(g(x)=\frac{1}{2}(f(x)-3)=\frac{1}{2}(x^3-2x^2-4x+3-3)=\frac{1}{2}(x^3-2x^2-4x)=\frac{1}{2}x^3-x^2-2x\)

Schritt 3: Zeichne den Graphen in ein Koordinatensystem

Jetzt kannst du beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen und die Veränderungen beobachten.

Wie du Graphen von ganzrationalen Funktionen verschiebst, streckst und spiegelst - Abbildung 1

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Spiegle den Graphen von \(f(x)\) an der y-Achse und strecke ihn um den Faktor 2.

Schritt 1: Führe die entsprechenden Operationen am Funktionsterm durch

In diesem Aufgabenteil musst du zunächst das Argument \(x\) im Funktionsterm durch \(-x\) ersetzen, dadurch bewirkst du die Spiegelung an der y-Achse. Danach kannst du den erhaltenen Funktionsterm mit 2 multiplizieren, um die Streckung zu bewirken. Der neue Funktionsterm lautet dann:

\(h(x)=2(f(-x))\)

Schritt 2: Forme den Funktionsterm um

Einsetzen und Auflösen liefert dir als neuen Funktionsterm:

\(h(x)=2(f(-x))=2((-x)^3-2(-x)^2-4(-x)+3)=2(-x^3-2x^2+4x+3)=-2x^3-4x^2+8x+6\)

Schritt 3: Zeichne den Graphen in ein Koordinatensystem

Im folgenden Bild kannst du wieder die am Graphen erfolgte Veränderung im Vergleich zum Ursprungsgraphen beobachten.

Wie du Graphen von ganzrationalen Funktionen verschiebst, streckst und spiegelst - Abbildung 2

Lösung

In der Grafik unten siehst du noch einmal den ursprünglichen Funktionsgraphen und die jeweils bewirkten Veränderungen. Die zugehörigen Funktionsgraphen sind:

a) \(g(x)=\frac{1}{2}x^3-x^2-2x\)

b) \(h(x)=-2x^3-4x^2+8x+6\)

Wie du Graphen von ganzrationalen Funktionen verschiebst, streckst und spiegelst - Abbildung 3

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier