Grenzwert von Zahlenfolgen

Wenn sich eine Zahlenfolge (a_n) mit wachsendem n beliebig dicht an einen bestimmten Wert g annähert, nennt man diese Zahl g den Grenzwert der Folge. Man sagt auch, dass die Folge gegen g konvergiert. Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann divergiert sie (bzw. ist sie divergent). Eine Folge mit dem Grenzwert 0 ist eine Nullfolge. Da die Partialsummen einer Reihe wiederum eine Folge bilden, kann man auch mögliche Grenzwerte von Reihen untersuchen.

Wenn die Folge (a_n) den Grenzwert g hat, dann sind höchstens endlich viele (auf mathematisch heißt das so gut wie keine, auch wenn es Millionen Glieder sein sollten) Folgenglieder weiter als eine beliebig kleine Zahl \(\epsilon \in \mathbb R\) von g entfernt.

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(a_n) = g\)

und liest „Limes a n für n gegen unendlich gleich g“. Limes ist das lateinische Wort für „Grenze“.

Beispiele:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( c \right) = c\),   \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac 1 n \right) = 0\),   \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{-5n^2+1}{3n^2} \right) = -\frac{5}{3}\)

Die Folge (2n) und die alternierende Folge (–1)ⁿ haben keinen Grenzwert, sie sind divergent. Im ersten Fall wachsen die Folgenglieder für immer größeres n über alle Grenzen an, und man schreibt \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 2n \right) = \infty\). Das Zeichen „\(\infty\)“ heißt „unendlich“. Funktionen und Folgen können auch gegen „minus unendlich“ gehen, etwa \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( -n^2 \right) = -\infty\).

Achtung: Auch wenn man die Symbole  „\(\pm \infty\)“ manchmal als „uneigentliche Grenzwerte“ bezeichnet, sind sie keine Zahlen und man darf nicht mit ihnen „rechnen“.