Polynomgleichungen

Eine Gleichung, die sich als ein Polynom, also in der Form

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$

mit $a_0,\, a_1\,a_2,\, a_3,\,\ldots,\,a_{n-1}\in \mathbb R$ und $a_n \in \mathbb R\!\setminus\!\{0\}$ schreiben lässt, nennt man eine Polynomgleichung. Wie bei Polynomen und Polynomfunktionen nennt man die Zahl n den Grad der Gleichung.

Das Lösen einer Polynomgleichung ist gleichbedeutend mit dem Bestimmen der Nullstelle(n) einer Polynomfunktion. Jede Polynomgleichung n-ten Grades hat höchstens n Lösungen.

Für Polynomgleichungen kleinen Grades gibt es spezielle Bezeichnungen; außerdem gibt es für diese – im Gegensatz zum allgemeinen Fall – Lösungsformeln.

• n = 1: Gleichungen ersten Grades nennt man meist lineare Gleichungen.
  Die Gleichung  a₁x + a₀ = 0  hat genau eine Lösung, nämlich $x = -\dfrac {a_0}{a_1}$ (a₁ ist definitionsgemäß ungleich 0).

• n = 2: Quadratische Gleichungen löst man bei $a_2 \ne 1$ mit der Mitternachtsformel, bei a₂ = 1 mit der pq-Formel. Es gibt keine, genau eine oder genau zwei Lösungen.

• n = 3: Für kubische Gleichungen gibt es nur „halbes“ Lösungsverfahren: Man kennt oder rät eine Lösung x₀, teilt die Gleichung durch (x – x₀) und löst die sich ergebende quadratische Gleichung, um die anderen beiden Lösungen zu erhalten.