Die Varianz ist ist eine Größe, mit der sich stochastische Verteilungen charakterisieren lassen. Man unterscheidet dabei zwei Fälle:
- Statistik: Die Varianz einer empirischen Stichprobe vom Umfang n, zur Verdeutlichung auch Stichprobenvarianz genannt, ist definiert als
\(\displaystyle s^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i=1}^n ( x_i - \overline{x} )^2\)
dabei ist \(\bar x\) der empirische Mittelwert der Stichprobenwerte.
Die Stichprobenvarianz ist ein häufig verwendetes empirisches Streuungsmaß.
Achtung: Diese Definition mit „n – 1“ im Nenner wird manchmal auch „korrigierte Stichprobenvarianz“ genannt, man bezeichnet dann \(\displaystyle s^{\prime \ 2} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n ( x_i - \overline{x} )^2\) als „unkorrigierte Stichprobenvarianz“. Der Unterschied zwischen korrigierter und unkorrigierter Stichprobenvarianz spielt eine gewisse Rolle bei der statistischen Parameterschätzung, hat ansonsten aber keine allzu große Bedeutung für den Mathematikunterricht. Man sollte aber auf jeden Fall immer kurz prüfen, wie die Definition in einer bestimmten Aufgabe angegeben ist! - Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung F(X) einer Zufallsvariablen X hat die Varianz
\(Var(X) = \sigma^2 = E \left( (X-E(X))^2 \right)\)
dabei ist \(E(X)=\mu\) der Erwartungswert dieser Verteilung bzw. Zufallsvariablen.
Die Wurzel aus der Stichprobenvarianz s2 ist die emprische Standardabweichung s, die Wurzel aus \(Var(X) = \sigma^2\) ist die Standardabweichung \(\sigma\) der Zufallsvariablen.
- Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) (Linearität)
- Var(X + a) = Var(X) und Var(a · X) = a2 · Var(X), wenn a eine beliebige Konstante ist
- \(X = a \ \Rightarrow \ Var(X) = 0\) (konstante Zufallsvariable hat keine Streuung!)
Wenn X und Y stochastisch unabhängig sind, gilt außerdem \(E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)\)
Eine Zufallsvariable bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1 heißt normiert oder standardisiert. Die zu X gehörige standardisierte Zufallsvariable ist
\(\displaystyle Y = \frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\)
Die wichtigste normierte Verteilung ist die Standardnormalverteilung.
Beispiele für diskrete Verteilungen mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlicher Varianz bzw. Standardabweichung:
