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Was ist ein Würfel?

Kniffel, Monopoly, Die Siedler von Catan, Backgammon und Mensch ärgere dich nicht haben alle eine Gemeinsamkeit: Man braucht zum Spielen einen (oder mehrere) Würfel. Aber aufgepasst, nicht alle „Würfel“ sind auch im mathematischen Sinn Würfel. Wie du einen echten Würfel erkennst und was ihn so besonders macht, erfährst du in diesem Lernweg.

In diesem Lernweg findest du viele interaktive Übungen zum Würfel. Wenn du bereit bist, deine Fähigkeiten zu testen, kannst du dazu unsere Klassenarbeiten nutzen.

Was ist der Oberflächeninhalt eines Körpers?

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Oberflächeninhalt

Oberflächeninhalt

Oberflächeninhalt

Wie du den Oberflächeninhalt von Körpern berechnest

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Oberflächeninhalt berechnen

Oberflächeninhalt berechnen

Oberflächeninhalt berechnen

Die Beschriftung des Würfels und die Formel zur Berechnung von Volumen und Oberfläche

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Würfel

Würfel

Würfel

Schlussrunde: Oberflächeninhalt

Schlussrunde: Oberflächeninhalt

Schlussrunde: Oberflächeninhalt

Was du wissen musst

  • Welche Eigenschaften hat ein Würfel?

    Bestimmt weißt du, warum ein Würfel in so vielen Spielen benutzt wird: Alle Würfelergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Das liegt an seinen Eigenschaften:

    • Alle Kanten sind gleich lang.
    • Da die Kanten alle gleich lang sind, handelt es sich bei den Außenflächen um Quadrate.
    • Und diese haben alle den gleichen Flächeninhalt.
    • Wenn du nachzählst, wirst du sehen, dass ein Würfel 6 Seiten und 12 Kanten hat.

     

  • Wie kann man Würfel darstellen?

    Draufsicht auf einen Würfel. Daneben abgebildet ist eine dazugehörige Skizze.

    Einen Würfel zu zeichnen ist nicht ganz einfach. Rechtecke, Quadrate, Kreise und ähnliche Objekte lassen sich hingegen recht einfach darstellen. Das liegt daran, dass diese Objekte flach sind. Sie sind so flach, dass man deren Höhe nicht darstellen muss. Bei einem Würfel ist das anders. Deshalb stellt man ihn meist mit einem Schrägbild oder einem Körpernetz dar.

    Zeichnet man einen Würfel nur aus der Draufsicht, sieht er aus wie ein Quadrat. Dabei geht die räumliche Vorstellung verloren.

    Schrägbild

    Würfel sind dreidimensionale Körper, also möchte man auch gern zeichnen, wie lang, hoch und breit sie sind. Das ist auf Papier aber nicht wirklich möglich, da du ja auf einem Blatt nicht „nach hinten“ zeichnen kannst.

    Um einen Gegenstand trotzdem räumlich darzustellen, benutzt man Schrägbilder. Denk dabei daran, diejenigen Kanten, die man in Wirklichkeit nicht sehen würde, nur gestrichelt darzustellen, und halte auch alle weiteren Regeln zur Erstellung eines Schrägbildes ein.

    Schrägbild eines Würfels

    Körpernetz

    Zu sehen ist ein Netz eines Würfels.

    Bei einem Körpernetz zeichnest du alle Seiten des Würfels zusammenhängend nebeneinander. Stell dir einfach vor, du würdest den Würfel mit allen Seiten über das Blatt rollen und pass dabei auf, dass du an alle Seite denkst.

    Wenn du das Netz ausschneidest und an den Kanten nach innen knickst, dann entsteht aus dem Netz wieder ein Würfel.

  • Wie berechnet man das Volumen und die Oberfläche eines Würfels?

    Du wirst zukünftig noch sehr häufig die Oberfläche und das Volumen von Körpern bestimmen müssen. Beides sind wichtige Eigenschaften eines Körpers. Für den Würfel sind sie zum Glück recht einfach zu bestimmen.

    Oberfläche

    Die Oberfläche \(A\) ist alles, was du beim Körpernetz auf das Papier gezeichnet hast, also alle Seiten des Würfels zusammen. Wenn du ein Körpernetz zeichnest, siehst du, dass es aus \(6\) gleichen Quadraten besteht. Wenn diese Quadrate die Seitenlänge \(a\) haben, ergibt das die Formel:

    \(A=6\cdot A_\text{Quadrat} = 6 \cdot a^2\)

    Volumen

    Das Volumen \(V\) gibt an, wie viel Inhalt der Körper hat. Die Formel ist sehr ähnlich wie die des Flächeninhaltes eines Quadrates. Dort hat man alle Seiten miteinander multipliziert. Wenn man bei einem Würfel wissen möchte, wie viel hineinpasst, spielt aber auch die Höhe eine Rolle. Sie wird einfach dazumultipliziert.

    \(\begin{align} \text{Flächeninhalt eines Quadrates} &= \text{Länge} \cdot \text{Breite} \\ A&=a\cdot a=a^2 \end{align}\)

     \(\begin{align} \text{Volumen eines Würfels} &= \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} \\ A&=a\cdot a \cdot a = a^3 \end{align}\)

  • Wo findet man Würfel im Alltag?

    Würfel sind weit verbreitet. Sie finden sich beispielsweise bei Verpackungen, Möbeln, in der Kunst sowie im Straßenbild. Allerdings muss man da auch ein bisschen vorsichtig sein, denn häufig stellt sich beim Nachmessen heraus, dass es sich doch nicht um ein Würfel, sondern um einen Quader handelt.

    Außerdem kommen, wie am Anfang erwähnt, Würfel in vielen Spielen vor. Allerdings sind das keine perfekten Würfel. Häufig siehst du deutlich, dass die Kanten und Ecken abgerundet sind. Außerdem gibt es auf den Seiten Vertiefungen für die Punkte.

    Des Weiteren kommen zum Beispiel „Würfel“ mit 4, 20 oder sogar 100 Seiten vor. Vorsicht: Dabei handelt es sich im mathematischen Sinn nicht um Würfel, sondern meist um platonische Körper.