Rechnen mit Vektoren ist dank Learnattack bald kein Problem mehr für dich!

Welche Rechenregeln und -gesetze gibt es bei Vektoren

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Rechenregeln bei Vektoren

Rechenregeln bei Vektoren (einfach)

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Bei der Addition von Vektoren werden die einzelnen Einträge eines jeden Vektors mit dem entsprechenden Eintrag des anderen Vektors addiert.

Richtig

Falsch

Rechenregeln bei Vektoren (mittel)

Aufgabe:

Gib die Komponenten der folgenden Gleichung an:

$\left( \begin{array}{c} 50 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 3 \\ -35 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)$

$x_1 =$

$x_2 =$

Aufgabe:

Gib an, für welches

$x$ die Gleichung

$x \left( \begin{array}{c} 9 \\ 2,25 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 36 \\ 9 \end{array} \right)$ gilt.

$1,3$
.
$2^2$
.
$\sqrt{4}$
.
$2 \cdot 3$
.

Aufgabe:

Gib an, ob die Gleichung wahr oder falsch ist.

$\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\8 \end{array} \right) + 3 \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\8 \end{array} \right) = 4 \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\8 \end{array} \right)$ .

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gib die Komponenten der folgenden Gleichung an:

$\left( \begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 9 \\ 5\end{array} \right) + 3 \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -1 \\ 0\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)$

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

$x_4 =$

Rechenregeln bei Vektoren (schwer)

Aufgabe:

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wird die Richtung beibehalten.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gib die Komponenten des Vektors an, sodass für jedes

$a \in \mathbb{R}$ gilt:

$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = a \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ .

$x =$

$y =$

Aufgabe:

Gib an, für welchen Vektor

$\vec{x}$ die Gleichung

$\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} \right) + \vec{x} = \vec{0}$ gilt.

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} y_2 \\ y_1 \end{array} \right)$
.
$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} -\, y_1 \\ y_1 \end{array} \right)$
.
$\vec{x} = - \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} \right)$
.
$\vec{x} = - \left( \begin{array}{c} y_2 \\ y_1 \end{array} \right)$
.
$\vec{x} = \vec{0}$
.

Wie du mit Vektoren rechnest

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Mit Vektoren rechnen

Mit Vektoren rechnen (einfach)

Aufgabe:

Ergänze den Text sinnvoll.

Um einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren, muss Eintrag des Vektors mit dieser Zahl multipliziert werden.

Mit Vektoren rechnen (mittel)

Aufgabe:

Gib die Komponenten der folgenden Gleichung an:

$\left( \begin{array}{c} 14 \\ 5{,}5 \\ -8\end{array} \right) - 3 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

Aufgabe:

Gib an, ob die Gleichung richtig (wahr) oder falsch ist.

$\ 9 \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 4 \\ 5\end{array} \right) +2 \left( \begin{array}{c} -2 \\ -4 \\2 \\4 \end{array} \right) - 6 \left( \begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ -3 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 43 \\ 53 \\ 58 \end{array} \right)$

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Wähle das richtige Ergebnis aus.

$3 \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right) + 5 \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right) - 17 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\26 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ -80\end{array} \right)$
.
$-\left( \begin{array}{c} 9 \\ 68 \\ 410\end{array} \right)$
.
Keines davon ist richtig.
.
$\left( \begin{array}{c} 2 \\ -59 \\ - 210\end{array} \right)$
.

Aufgabe:

Vervollständige die Gleichung, indem du die Bausteine an die passende Stelle ziehst.

$3$

$-\ 4$

$=$

$\left( \begin{array}{c} 11 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} 17 \\ -32 \\ 1 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} 4 \\ 11 \\ 2 \end{array} \right)$

Aufgabe:

Gib die Komponenten der folgenden Gleichung an:

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\-2 \\ 3 \\ 0\end{array} \right) +2 \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 5\\ 9 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{array} \right)$

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

$x_4 =$

$x_5 =$

Mit Vektoren rechnen (schwer)

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Ein Vektor kann maximal vier Einträge haben.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Betrachte den Vektor

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ 0{,}6 \\ 1 \end{array} \right)$ , der die Position (

$x, y, z$ ), den Luftdruck (

$0{,}6$ ) und die Farbe (

$1$ ) eines roten Ballons beschreibt. Gib an, wie sich der letzte Eintrag im Zuge der Bewegung verändert.

Der Eintrag ändert sich kontinuierlich.
.
Der Eintrag verändert sich nicht.
.
Der Eintrag ändert sich in bestimmten Intervallen.
.
Der Eintrag ändert sich ohne bestimmtes Muster.
.

Aufgabe:

Eine Person befindet sich am Punkt

$(2|3)$ . Sie geht 7 Schritte in Richtung

$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0{,}5 \end{array} \right)$ . Gib an, wo sich die Person dann befindet.

Die Person befindet sich dann an dem Punkt

$($

$|$

$)$ .

Wie du prüfst, ob Vektoren kollinear sind

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Prüfen, ob Vektoren kollinear sind

Prüfen, ob Vektoren kollinear sind (einfach)

Aufgabe:

Wähle die Eigenschaft aus, die zwei Vektoren gemeinsam haben, wenn sie kollinear sind.

gleiche Richtung
.
gleicher Endpunkt
.
gleiche Länge
.
gleiche Farbe
.
senkrecht zueinander
.

Aufgabe:

Ergänze den Satz sinnvoll.

Sind zwei Vektoren

$\vec{x}$ und

$\vec{y}$ nicht kollinear, dann lässt sich Skalar

$t$ so bestimmen, dass

$\vec{x} = t \cdot \vec{y}$ gilt.

Prüfen, ob Vektoren kollinear sind (mittel)

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Die Vektoren

$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0\end{array} \right)$ und

$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0\end{array} \right)$ sind nicht kollinear.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Wähle das Skalar, mit dem die Kollinearität der Vektoren

$\left( \begin{array}{c} 1{,}5 \\ 4 \\ 7{,}5 \end{array} \right)$ und

$\left( \begin{array}{c} 2{,}25 \\ 6 \\ 11{,}25 \end{array} \right)$ nachweisbar ist.

$t = 0{,}77$
.
$t = 1{,}5$
.
$t = 2$
.
$t = \frac{2}{3}$
.

Aufgabe:

Gib

$x$ so an, dass die Vektoren

$\left( \begin {array}{c} x \\ \frac{2}{3} \\ 3{,}\overline{3}\end{array}\right)$ und

$\left( \begin {array}{c} 2{,}25 \\ 1{,}5 \\ 7{,}5\end{array}\right)$ kollinear sind.

$x=$

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Die Vektoren

$\left( \begin {array}{c} 2 \\ 3c \\ 4c^2\end{array}\right)$ und

$\left( \begin {array}{c} \frac{4}{c} \\ 6 \\ 8c \end{array}\right)$ sind kollinear.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Wähle

$t$ so, dass die Kollinearität von

$\left( \begin {array}{c} 6 \\ 8 \\ 15\end{array}\right)$ und

$\left( \begin {array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right)$ nachgewiesen werden kann.

$t = 2$
.
$t = \frac{1}{4}$
.
Es liegt keine Kollinearität vor.
.

Prüfen, ob Vektoren kollinear sind (schwer)

Aufgabe:

Ein rotes Auto startet am Punkt

$(3|2)$ und fährt nach

$(8|7)$ . Ein blaues Auto fährt von

$(22|12)$ nach

$(21 | 11)$ . Beide Fahrzeuge können auf direktem Weg zu ihrem Ziel gelangen. Vergleiche die zurückgelegten Strecken. Wähle aus, wie sich die Fahrstrecken zueinander verhalten.

Die Autos fahren in unterschiedliche Richtungen.
.
Die Autos fahren in entgegengesetzte Richtung.
.
Die Autos fahren in die gleiche Richtung.
.

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Der Nullvektor ist zu jedem beliebigen Vektor kollinear, weil gilt:

$\vec{0} = 0 \cdot \vec{x}$

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Stell die Größe des Skalars zweier kollinearer Vektoren mit ihrer Orientierung und ihrer Länge in Zusammenhang, indem du die Bausteine an die passende Stelle ziehst.

Sei

$\vec{x} = t \cdot \vec{y}$ . Dann gilt für

$|t| < 1$ :

$\vec{x}$ ist

$\vec{y}$ .

$|t| > 1$ :

$\vec{x}$ ist

$\vec{y}$ .

$|t| = 1$ :

$\vec{x}$ ist

$\vec{y}$ .

kürzer als

genauso lang wie

länger als

Aufgabe:

Wähle die richtige Ergänzung des folgenden Satzes aus.

Sei

$\vec{x} = t \cdot \vec{y}$ . Dann gilt für

$t < 0$ , dass …

$\vec{x}$ und $\vec{y}$ nicht kollinear sind.
.
$\vec{x}$ kürzer als $\vec{y}$ ist.
.
$\vec{x}$ entgegengesetzt orientiert zu $\vec{y}$ ist.
.

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Das Skalarprodukt ist geometrisch definiert durch:

$\vec{x} \cdot \vec{y} = | \vec{x} | | \vec{y} | \cos(\varphi)$
Wobei

$|\vec{x}|,|\vec{y}|$ die Längen der Vektoren

$\vec{x},\vec{y}$ sind. Sind sie kollinear, so ist das Skalarprodukt immer

$1$ , da kollineare Vektoren keine Winkel umfassen und

$\cos(0^{\circ}) = 1$ ist.

Richtig

Falsch

Wie du feststellst, ob zwei Vektoren oder Geraden aufeinander senkrecht stehen

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Feststellen, ob zwei Vektoren oder Geraden senkrecht aufeinanderstehen

Feststellen, ob zwei Vektoren oder Geraden senkrecht aufeinanderstehen (einfach)

Aufgabe:

Ergänze den Text sinnvoll.

Um zu prüfen, ob Vektoren senkrecht zueinander sind, muss das berechnet werden.

Aufgabe:

Definiere das Skalarprodukt der Vektoren

$\vec{x} = \left( \begin{array} \\x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$ und

$\vec{y} = \left( \begin{array} \\y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right)$ , indem du die Bausteine an die passende Stelle ziehst.

$\vec{x} \cdot \vec{y} =$

$\cdot\ y_1\ +$

$y_2$

$x_3\ \cdot$

$+$

$y_3$

$\cdot$

$x_2$

$x_1$

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Das Skalarprodukt senkrechter Vektoren ergibt

$1$ .

Richtig

Falsch

Feststellen, ob zwei Vektoren oder Geraden senkrecht aufeinanderstehen (mittel)

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Die Vektoren

$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1\end{array} \right)$ und

$\left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -1\end{array} \right)$ sind senkrecht zueinander.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 10 \\ 0{,}5 \\ 3 \end{array} \right)$ ,

$\vec{y} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -30 \\-5\end{array} \right)$ und

$\vec{z} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -40 \\ 10\end{array} \right)$ . Wähle die zutreffenden Lagebeziehungen aus (

$\perp$ : Orthogonalität,

$\not\perp$ : keine Orthogonalität).

$\vec{x} \perp \vec{z}$
.
$\vec{y} \not\perp \vec{z}$
.
$\vec{y} \perp \vec{z}$
.
$\vec{x} \perp \vec{y}$
.
$\vec{x} \not\perp \vec{z}$
.
$\vec{x} \not\perp \vec{y}$
.

Aufgabe:

Wähle

$t \in \mathbb{R}$ so, dass die Vektoren

$\left( \begin{array}{c} 2{,}5 \\ 5 \\ 7\end{array} \right)$ und

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ t \\ 2\end{array} \right)$ senkrecht zueinander sind.

$t=$

Aufgabe:

Wähle

$t \in \mathbb{R}$ so, dass die Vektoren

$\left( \begin{array}{c} 2t \\ 4 \\4 \end{array} \right)$ und

$\left( \begin{array}{c} t \\ 4 \\ 5t \end{array} \right)$ senkrecht zueinander sind.

$t=1,64$
.
$t = 7,66$
.
$t=-4,98$
.
$t=-9,12$
.
$t=-0,88$
.

Aufgabe:

Wähle

$y \in \mathbb{R}$ so, dass die Vektoren

$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ 3x\end{array} \right)$ und

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2\end{array} \right)$ senkrecht zueinander sind.

$y=$

$x$

Feststellen, ob zwei Vektoren oder Geraden senkrecht aufeinanderstehen (schwer)

Aufgabe:

Wähle

$x$ in Abhängigkeit von

$y$ so, dass die Vektoren

$\left( \begin{array}{c} 3x \\ 2y \\ 4 \end{array} \right)$ und

$\left( \begin{array}{c} 2x + y \\ 3 \\ 6 \end{array} \right)$ senkrecht zueinander sind. Zieh dazu die Bausteine an die passende Stelle.

$y$

$\frac{y}{4}$

$4$

$-$

$x_{1,2} = -$

$\cdot\ \frac{1}{4}$

$\pm\ \sqrt{}(($

$)^2\ -$

$y)$

Aufgabe:

Das Skalarprodukt ist geometrisch definiert durch

$\vec{x} \cdot \vec{y} := | \vec{x} | | \vec{y} | \cos(\varphi)$ , wobei

$|\vec{x}|,|\vec{y}|$ die Längen der Vektoren

$\vec{x},\vec{y}$ sind. Begründe mithilfe dieser Definition, warum das Skalarprodukt bei Orthogonalität null ergeben muss. Trage die fehlenden Ausdrücke ein.

Sind zwei Vektoren zueinander, so bilden sie einen Winkel. Für den Kosinus eines solchen Winkels gilt:

$\cos($

$^{\circ}) =$

Wie du Rechnungen mit Vektoren zeichnerisch darstellst

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Wie du Rechnungen mit Vektoren zeichnerisch darstellst

Wie du Rechnungen mit Vektoren zeichnerisch darstellst (einfach)

Aufgabe:

Du sollst die Vektoraddition

$\vec{p}+\vec{q}$ zeichnerisch darstellen. Wähle aus, welcher Vektor zuerst im Koordinatensystem abgetragen werden muss.

$\vec{q}$
.
$\vec{p}$
.
Es spielt keine Rolle, welcher zuerst abgetragen wird.
.

Aufgabe:

Du sollst die Vektoraddition

$\vec{p}+\vec{q}$ zeichnerisch darstellen. Gib an, von wo der erste Vektor im Koordinatensystem abgetragen wird.

Der erste Vektor wird im Koordinatensystem vom abgetragen.

Aufgabe:

Du sollst die Vektoraddition

$\vec{p}+\vec{q}$ zeichnerisch darstellen. Gib an, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Der zweite Vektor

$\vec{q}$ wird auch vom Koordinatenursprung abgetragen.

Richtig

Falsch

Wie du Rechnungen mit Vektoren zeichnerisch darstellst (mittel)

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Der rote Vektor in der Grafik stellt das Ergebnis der Addition

$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2\end{array} \right)$ dar.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Zeichne in ein Koordinatensystem einen beliebigen Vektor

$\vec{p}$ und

$-\vec{p}$ . Wähle aus, wie die Vektoren sich unterscheiden.

Sie sind unterschiedlich lang.
.
Sie unterscheiden sich gar nicht.
.
Sie bilden einen rechten Winkel.
.
Sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
.

Aufgabe:

Gib die Reihenfolge an, in der die Anfangs- und Endpunkte der Vektoren der Linearkombination

$\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$ aufeinandertreffen, wenn

$\vec{p}$ zuerst und

$\vec{r}$ zuletzt abgetragen wird. Zieh die Bausteine an die passende Stelle.

Endpunkt von

$\vec{q}$

Anfangspunkt von

$\vec{p}$

Endpunkt von

$\vec{p}$

Koordinatenursprung

Endpunkt von

$\vec{r}$

Anfangspunkt von

$\vec{r}$

Anfangspunkt von

$\vec{q}$

Aufgabe:

Wähle die richtige(n) Darstellung(en) der folgenden Linearkombination aus.

$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) + 3 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array} \right)$

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Der rote Vektor in der Grafik stellt die Linearkombination

$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2\end{array} \right)$ dar.

Richtig

Falsch

Wie du Rechnungen mit Vektoren zeichnerisch darstellst (schwer)

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Sind zwei Vektoren

$\vec{p}, \vec{q}$ gegeben und soll der Summenvektor

$\vec{p} + \vec{q}$ zeichnerisch bestimmt werden, so ist es egal, welcher Vektor zuerst abgetragen wird.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren

$\vec{p}, \vec{q}$ und

$\vec{r}$ . Gib an, in welcher Reihenfolge die Vektoren gezeichnet werden können, um

$\vec{p} + (\vec{q} + \vec{r})$ zeichnerisch darzustellen.

erst $\vec{p}$ , dann $\vec{r}$ , dann $\vec{q}$
.
erst $\vec{p}$ , dann $\vec{q}$ , dann $\vec{r}$
.
erst $\vec{q}$ , dann $\vec{p}$ , dann $\vec{r}$
.
erst $\vec{r}$ , dann $\vec{q}$ , dann $\vec{p}$
.

Aufgabe:

Gegeben ist die Linearkombination

$\vec{p} + t \cdot \vec{q}$ . Gib an, wie oft der Vektor

$\vec{q}$ abgetragen werden muss.

Der Vektor

$\vec{q}$ muss -mal abgetragen werden.

Aufgabe:

Betrachte zwei nicht kollineare Vektoren

$\vec{p}, \vec{q}$ und deren Linearkombinationen

$\vec{p}+\vec{q}, \vec{q}+\vec{p}$ . Stell beide zeichnerisch in demselben Koordinatensystem dar. Wähle aus, welches Viereck die Vektoren einspannen.

Trapez
.
Parallelogramm
.
Rechteck
.
Quader
.
Raute
.

Wie du die Koordinaten eines Vektors bestimmst

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Koordinaten eines Vektors bestimmen

Koordinaten eines Vektors bestimmen (einfach)

Aufgabe:

Wähle die richtigen Ergänzungen des folgenden Satzes aus.

Ein Vektor beschreibt …

eine Ebene.
.
eine Richtung.
.
eine Gerade.
.
einen Punkt.
.

Aufgabe:

Gegeben seien die Punkte

$P$ und

$Q$ . Es soll der Richtungsvektor

$\vec{PQ}$ berechnet werden. Gib an, in welcher Reihenfolge die Ortsvektoren der Punkte voneinander subtrahiert werden, indem du die Bausteine an die passende Stelle ziehst.

$-$

Ortsvektor von

$Q$

Ortsvektor von

$P$

Koordinaten eines Vektors bestimmen (mittel)

Aufgabe:

Berechne die Komponenten des Richtungsvektors

$\vec{QP} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$ zwischen den Punkten

$P(4|3|9)$ und

$Q(3|3|9)$ . Trage die Werte ein.

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

Aufgabe:

Wähle den Richtungsvektor

$\vec{PQ}$ zwischen den Punkten

$P(3|5|10)$ und

$Q(11|6|2)$ aus.

$\left( \begin{array}{c}- 8 \\ -1 \\ -8 \end{array} \right)$
.
$\left( \begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ -8 \end{array} \right)$
.
$\left( \begin{array}{c}8 \\ -1 \\ 8 \end{array} \right)$
.
$\left( \begin{array}{c}- 8 \\ 1 \\ 8 \end{array} \right)$
.
$\left( \begin{array}{c}- 8 \\ -1 \\ 8 \end{array} \right)$
.

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Der Vektor von Punkt

$P(8|4|5)$ zum Punkt

$Q(3|2|6)$ ist:

$\vec{PQ} = \left( \begin{array}{c} 5\\2\\-1 \end{array} \right)$

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gegeben seien die Punkte

$P(1|9|11)$ ,

$Q(17|3|11)$ und

$R(6|9|3)$ . Ordne die Namen den entsprechenden Vektoren zu.

$= \left( \begin{array}{c} 16\\-6\\0 \end{array} \right)$ ,

$= \left( \begin{array}{c} -16\\6\\0 \end{array} \right)$ ,

$= \left( \begin{array}{c} 5\\0\\-8 \end{array} \right)$ ,

$= \left( \begin{array}{c} -5\\0\\8 \end{array} \right)$ ,

$= \left( \begin{array}{c}11\\-6\\8\end{array} \right)$ ,

$= \left( \begin{array}{c}-11\\6\\-8\end{array} \right)$

$\vec{PQ}$

$\vec{PR}$

$\vec{QR}$

$\vec{QP}$

$\vec{RP}$

$\vec{RQ}$

Aufgabe:

Berechne die Komponenten des Richtungsvektors

$\vec{PQ} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$ zwischen den Punkten

$P(12|8|4)$ und

$Q(5|9|16)$ . Trage die Werte ein.

$x_1 =-$

$x_2 =$

$x_3 =$

Koordinaten eines Vektors bestimmen (schwer)

Aufgabe:

Zieh die Wörter an die passende Stelle.

Ortsvektoren

Nullpunkt

Richtungsvektoren

Richtungsvektor

subtrahiert

Ausgangsvektor

Zielvektor

Punkt

beschreiben den Weg von einem

zu einem anderen. Dazu werden die Koordinaten als

dargestellt und anschließend der

vom

. Ortsvektoren als solche können auch als

vom

zu einem ausgewählten Punkt aufgefasst werden.

Aufgabe:

Eine Person wandert durch Berge und startet am Punkt

$(50|30|100)$ . Der zurückgelegte Weg lässt sich mit dem Vektor

$\left( \begin{array}{c} 5 \\ 800 \\ 100 \end{array} \right)$ beschreiben. Wähle die Koordinaten des Ziels aus.

$(45|770|0)$
.
keine davon
.
$(55|830|200)$
.
$(55|830|100)$
.

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Für Vektoren zwischen zwei Punkten

$P$ und

$Q$ gilt:

$\vec{PQ} = - \vec{QP}$

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Geraden.

$g_1{:}\quad \vec{x} = \vec{a_1} + s_1 \vec{r_1}$

$g_2{:}\quad \vec{x} = \vec{a_2} + s_2 \vec{r_2}$
Sie werden durch je einen Ausgangspunkt (

$\vec{a_1}, \vec{a_2}$ ) und je eine Richtung (

$\vec{r_1}, \vec{r_2}$ ) charakterisiert. Wähle aus, was Kollinearität der Richtungsvektoren für die Geraden bedeutet.

Die Geraden sind senkrecht zueinander.
.
Die Geraden sind parallel zueinander.
.
Die Geraden sind identisch.
.
Die Geraden sind weder parallel zueinander noch schneiden sie sich.
.

Aufgabe:

Man spricht von linearer Unabhängigkeit, wenn für

$n$ Vektoren

$\vec{v_1},\ \ldots\ , \vec{v_n}$ Folgendes gilt:

$s_1 \vec{v_1} + ... + s_n \vec{v_n} = 0$
Die Skalare

$s_n$ müssen folglich null sein (

$s_1 =\ldots = s_n = 0$ ), damit diese Bedingung erfüllt werden kann. Betrachte nun zwei kollineare Vektoren

$\vec{v_1}$ und

$\vec{v_2}$ und gib an, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Diese Vektoren sind ebenfalls linear unabhängig.

Richtig

Falsch

Rechnen mit Vektoren

Rechnen mit Vektoren (einfach)

Aufgabe:

Ergänze den Satz sinnvoll.

Auch bei Vektoren gilt rechnung vor rechnung.

Aufgabe:

Wähle die richtige Benennung von Termen der Form

$s_1 \cdot \vec{p_1} + \ldots + s_n \cdot \vec{p_n}$ für ein natürliches

$n$ .

Vektorgleichung
.
Linearrechnung
.
Linearkombination
.
lineare Gleichung
.

Rechnen mit Vektoren (mittel)

Aufgabe:

Gib die Komponenten des Lösungsvektors folgender Gleichung an.

$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 8 \\ 4\end{array}\right) + 7 \cdot \left( \begin{array}{c} 10 \\ 89 \\ 5 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)$

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

Aufgabe:

Wähle das richtige Ergebnis für folgende Gleichung aus.

$\vec{x} = 3 \cdot \left( \begin{array}{c} 40 \\ 8 \\ 10 \end{array} \right) - 5 \left( \begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 9 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} 32 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)$
.
$\left( \begin{array}{c} 80 \\ -40 \\ -15 \end{array} \right)$
.
$\left( \begin{array}{c} 80 \\ 4 \\ -15 \end{array} \right)$
.
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 15 \end{array} \right)$
.

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Es gilt:

$\left( \begin{array}{c} 20 \\ 35 \\ 11 \end{array} \right) - 6 \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 9 \\ 10 \end{array} \right) - 7 \cdot \left( \begin{array}{c} 11 \\ 17 \\ 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -75 \\ -138 \\ - 78 \end{array} \right)$

Richtig

Falsch

Rechnen mit Vektoren (schwer)

Aufgabe:

Ein Objekt startet im Punkt

$(8|3|7)$ und landet im Punkt

$(200|637|311)$ . Es bewegt sich siebenmal entlang des Bewegungsvektors

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$ . Gib die Komponenten dieses Vektors auf zwei Nachkommastellen genau an.

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

Aufgabe:

Ein Objekt A bewegt sich vom Punkt

$(7 | 8 |3)$ um drei Einheiten nach links entlang der y-Achse und vier nach oben entlang der z-Achse. Ein Objekt B startet im Punkt

$(1|0|1)$ und bewegt sich zweimal entlang des Bewegungsvektors

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2{,}5 \\ 1\end{array} \right)$ . Gib an, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Beide Bewegungen enden an demselben Punkt.

Richtig

Falsch

Über Vektorrechnung

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