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Mit Kommazahlen rechnen

5. ‐ 7. Klasse Dauer: 75 Minuten

Kommazahlen, die auch Dezimalzahlen, genannt werden, sind Zahlen, bei denen eine der Nachkommastellen nicht die Null ist. Wenn du mit Dezimalzahlen rechnest, musst du ein paar Dinge beachten:

  • Beim Addieren und Subtrahieren musst die Zahlen an der Kommastelle ausrichten.
  • Beim Multiplizieren und Dividieren kannst du das Komma erst mal nicht beachten, wenn du hinterher alle Nachkommastellen wieder richtig einbeziehst.

Es gibt auch Angaben, die erst mal keine Dezimalzahlen sind, wie z. B. Zeitangaben, Geldbeträge oder Gewichtsangaben. Wenn du diese aber in Dezimalzahlen umrechnest, kannst du dir oft den Rechenweg sehr erleichtern.

Hier findest du alles, was du zum Rechnen mit Kommazahlen wissen musst. Wenn du alles verstanden hast, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten zu Dezimalzahlen testen.

Wie du Dezimalzahlen addierst und subtrahierst

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Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Wie du Dezimalzahlen multiplizierst

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Dezimalzahlen multiplizieren

Dezimalzahlen multiplizieren

Dezimalzahlen multiplizieren

Wie du Dezimalzahlen dividierst

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Dezimalzahlen dividieren

Dezimalzahlen dividieren

Dezimalzahlen dividieren

Wie du Größen in Dezimalschreibweise umrechnest

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In Dezimalzahlen umrechnen

In Dezimalzahlen umrechnen

In Dezimalzahlen umrechnen

Schlussrunde: Mit Dezimalzahlen rechnen

Schlussrunde: Mit Dezimalzahlen rechnen

Schlussrunde: Mit Dezimalzahlen rechnen

Was du wissen musst

  • Wie rechnet man mit Dezimalzahlen?

    Für die Grundrechenarten gibt es bei Dezimalzahlen einfache Regeln, die dich sicher durch jede Aufgabe führen.

    Addieren und Subtrahieren mit Dezimalzahlen

    Beim Addieren und Subtrahieren kannst du die Techniken anwenden, die du schon beim Rechnen mit natürlichen Zahlen gelernt hast. Du musst dabei nur darauf achten, die Dezimalzahlen immer am Komma auszurichten. Leere Nachkommastellen kannst du mit Nullen auffüllen.

    \(\begin{align} \; 10&{,}0035\\ +\,215&{,}6\color{green}{000} \\ \overline{\,225}&\overline{{,}6035} \\ \end{align}\)

    \(\begin{align} \; 350&{,}052\\ -\,115&{,}6\color{green}{00} \\ \overline{\,234}&\overline{{,}452} \\ \end{align}\)

    Multiplizieren mit Dezimalzahlen

    Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen machst du zuerst eine schriftliche Multiplikation, bei der du die Kommas gar nicht beachtest. Dann verrückst du das Komma des Ergebnisses um so viele stellen nach links, wie es insgesamt Nachkommastellen in der Aufgabe gibt.

    Aufgabe: \(0{,}34\; \cdot \; 12{,}5\)

    Rechnung:

    \(\begin{align}\underline{34\; \cdot \; 1} &\underline {25}\\ 34 &\\ 6&8 &\\ +\;\;\;\;\;1&70\\ \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\scriptsize 1\,}&\underline{\scriptsize 1\;\;\;\;\;}\\ 42&50 \end{align}\)

    Nachkomma-
    stellen:

    \(0{,}\color{green}{34}\; \cdot \; 12{,}\color{green}{5}\\ \Rightarrow \text{3 Stellen}\)

    Ergebnis:

    \( 0{,}34\cdot12{,}5= 4{,}250\)

     

    Dividieren mit Dezimalzahlen

    Beim Dividieren von Dezimalzahlen kürzt du zuerst beide Zahlen so lang, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Einfach gesagt verschiebst du bei beiden Zahlen das Komma so weit nach rechts, bis die Zahl, durch die du teilst, keine Nachkommastelle mehr hat. Achte darauf, dass du bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen verschiebst.

    Dann machst du eine normale schriftliche Division. Wenn du beim Dividenden bei der ersten Nachkommastelle angekommen bist, machst du auch beim Ergebnis ein Komma.

    Aufgabe: \(\begin {align}1{,}44:0{,}4 \end{align}\)

    Komma verschieben:

    \(\begin {align}14{,}4:4 &= \end{align}\)

     

    Nachkommastelle
    mitnehmen:

    \(\begin {align}14&{,}4:4 =3\color{green},\\ \underline{12}&\\2&\,\color{green}4 \end{align}\)

    Fertig Rechnen:

    \(\begin {align}14&{,}4:4 =3{,}6\\[-3pt]\underline{12}&\\[-3pt]2&4 \\[-3pt]2&4\\[-3pt]\overline {\phantom{0}} &\overline {0} \end{align}\)

     

  • Mit welchen Dezimalzahlen sollte man nicht rechnen?

    Prinzipiell kannst du mit allen Dezimalzahlen rechnen. Es gibt aber einige Arten von Dezimalzahlen, bei denen das unpraktisch wird, da sie sehr viele Nachkommastellen haben. Das bedeutet sehr viel zu schreiben und zu rechnen. Ganz besonders schwierig wird das bei Zahlen, die unendlich lang sind. In der Schule werden dir da besonders zwei Gruppen begegnen:

    • periodische Dezimalzahlen, z. B. \(0{,}\overline6\)
    • irrationale Zahlen, wie die Kreiszahl \(\pi\)

    Um mit diesen Zahlen überhaupt rechnen zu können, musst du sie auf ein bis drei Nachkommastellen runden. Das kann das Ergebnis sehr ungenau machen. Besser ist es dann, die Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln und mit dem Bruch weiterzurechnen oder die irrationale Zahl als Variable mitzuführen. Dadurch bleibt die Rechnung so genau wie möglich.

  • Wann ist es praktischer, mit Dezimalzahlen zu rechnen?

    Es gibt Umstände, unter denen es einfacher ist, mit Dezimalzahlen zu rechnen. Prinzipiell bleibt die Entscheidung, welche Rechenart du anwendest, um etwas auszurechnen, aber immer dir überlassen.

    Angaben von Größen

    Größenangaben sind Zahlen, die eine Einheit haben und etwas beschreiben, Zum Beispiel 5 Kilo Mehl. Gerade wenn du gemischte Mengenangaben hast, wie 4 Kilo und 900 Gramm, ist es praktischer, diese Angaben in eine Dezimalzahl umzuwandeln und mit dieser Zahl zur rechnen.

    Sei beim Umwandeln von Zeitangaben besonders genau, da eine Stunde 60 Minuten hat, sind 1,5 Stunden also 1 Stunde und 30 Minuten.

    Bestimmte Brüche

    Bei manchen Brüchen ist es schwierig, den Hauptnenner zu finden oder geschickt zu kürzen. In solchen Fällen kann es hilfreich sein, den Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln und damit zu rechnen.

    Aber sei vorsichtig, es gibt auch Zahlenwerte, mit denen man sehr viel leichter als Bruch als als Dezimalzahl rechnen kann.

  • Wozu muss man mit Kommazahlen rechnen können?

    Kommazahlen oder Dezimalzahlen begegnen dir im Alltag häufig, z. B.:

    • Preise beim Einkaufen: 1,19 €
    • Maßangaben von Längen, Gewichten oder Rauminhalten: 1,5 m; 3,7 kg, 0,4 l
    • Angaben von großen Mengen: 3,65 Millionen Einwohner in Berlin

    Um mit diesen Angaben umgehen zu können, musst du nicht nur wissen, was sie bedeuten, sondern auch, wie man mit ihnen rechnet.

    Ganz zu schweigen davon, dass dir in deiner weiteren Schullaufbahn überall Dezimalzahlen begegnen werden. Dann darfst du zwar einen Taschenrechner benutzen, aber es ist immer besser, wenn du auch verstehst, was du in den Taschenrechner eintippst, und eine Vorstellung davon hast, welches Ergebnis herauskommen sollte. So können dir eventuelle Tippfehler früh genug auffallen.