Was du wissen musst
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Wie löst man Aufgaben mit gemischten Zahlen erfolgreich?
Wenn du Aufgaben mit gemischten Zahlen rechnen sollst, gibt es ein offenes Geheimnis, um diese erfolgreich zu lösen: Du musst die gemischten Zahlen in unechte Brüche umwandeln.
Addition
Beispielaufgabe: \( 4\frac{4}{5}+3\frac{5}{8} \)
Nur bei der Addition kannst du die ganzen Zahlen der gemischten Zahlen sofort miteinander addieren:
\(4+3=7\)
Dann addierst du die Brüche, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst:
\( \frac{4}{5}+\frac{5}{8}= \frac{32}{40}+\frac{25}{40}=\frac{32 \text{ } + \text{ } 25}{40}=\frac{57}{40}=1\frac{17}{40} \)
Abschließend fügst du beide Ergebnisse zu einer gemischten Zahl zusammen:
\(7+1\frac{17}{40}=8\frac{17}{40}\)
Subtraktion
Beispielaufgabe:
\( 4\frac{4}{5}-3\frac{5}{8}-\frac{1}{10}\)
Zuerst wandelst du die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:
\(4\frac{4}{5} =\frac{4 \text{ } \cdot \text{ } 5 \text{ } + \text{ } 4}{5}=\frac{20 \text{ } + \text{ } 4}{5}=\frac{24}{5} \)
\(3\frac{5}{8}=\frac{3 \text{ } \cdot \text{ } 8 \text{ } + \text{ } 5}{8}=\frac{24 \text{ } + \text{ } 5}{8}=\frac{29}{8}\)
Anschließend subtrahierst du die Brüche, indem du sie auf den Hauptnenner bringst und die Zähler voneinander subtrahierst. Am Ende wandelst du den unechten Bruch wieder in eine gemischte Zahl um:
\(\frac{24}{5}-\frac{29}{8}-\frac{1}{10}=\frac{192}{40}-\frac{145}{40}-\frac{4}{40}=\frac{192 \text{ }- \text{ }145 \text{ }- \text{ }4}{40}=\frac{43}{40}=1\frac{3}{40}\)
Multiplikation
Beispielaufgabe:
\(3\frac{1}{5}\cdot 3\frac{4}{7}\)
Zuerst wandelst du die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:
\(\frac{16}{5}\cdot \frac{25}{7}\)
Bevor du die Nenner und die Zähler jeweils miteinander multiplizierst, kannst du eventuell kürzen:
\(\frac{16 \text{ } \cdot \text{ }\color{orange}{25} }{\color{orange}{5} \text{ } \cdot \text{ }7}=\frac{16 \text{ } \cdot \text{ }\color{orange}{5} }{\color{orange}{1} \text{ } \cdot \text{ }7}\)
Das Ergebnis wandelst du wieder in eine gemischte Zahl um:
\(\frac{80}{7}=11\frac{3}{7}\)
Division
Beispielaufgabe:
\(5\frac{3}{8}: 2\frac{7}{8}\)
Zuerst wandelst du die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:
\(\frac{43}{8}: \frac{23}{8}\).
Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit dem Kehrwert des Divisors multiplizierst:
\(\frac{43}{8} \cdot \frac{8}{23}\)
Bevor du anschließend die Nenner und die Zähler jeweils miteinander multiplizierst, kannst du eventuell kürzen:
\(\frac{43\text{ } \cdot \text{ }\color{orange}{8} }{\color{orange}{8} \text{ } \cdot \text{ }23}=\frac{43\text{ } \cdot \text{ }\color{orange}{1} }{\color{orange}{1} \text{ } \cdot \text{ }23}\)
Das Ergebnis wandelst du wieder in eine gemischte Zahl um:
\(\frac{43}{23}=1\frac{20}{23}\)
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Wieso heißen gemischte Zahlen „gemischt“?
Die gemischten Zahlen sind eine Mischung aus ganzen Zahlen und Bruchteilen. Du kannst sie in unechte Brüche umwandeln und erhältst dabei einen Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist.
Die unechten Brüche benötigst du für die meisten Rechnungen. Die gemischten Zahlen helfen dir jedoch, eine schnelle Vorstellung von der Größe der Zahl zu bekommen. Zum Beispiel:
Die Zahlen \(\frac{87}{7}\) und \(\frac{53}{3}\) sind schwerer zu vergleichen als deren gemischte Zahlen \(12\frac{3}{7}\) und \(17\frac{2}{3}\). Bei den letzteren siehst du deutlich, dass die zweite Zahl größer als die erste ist.
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Wieso heißen unechte Brüche „unecht“?
Die unechten Brüche sind eigentlich gar nicht so unecht. Sie haben einen Zähler, einen Nenner und einen Bruchstrich. Die Bezeichnung „unecht“ dient lediglich der Unterscheidung von den Brüchen, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist, den sogenannten echten Brüchen.
Wusstest du, dass alle positiven echten Brüche zwischen \(0\) und \(1\) liegen?
Stelle dir eine Strecke von \(1 \text{ m}\) vor. Diese kannst du halbieren und erhältst eine Strecke von \(1 \text{ m} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2} \text{ m}\). Diese Hälfte der ursprünglichen Strecke kannst du wieder halbieren und erhältst eine Strecke von \(\frac{1}{2} \text{ m} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \text{ m}\). Wiederholst du den Vorgang immer wieder, so erhältst du unendlich viele Bruchteile: \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{1}{32}\), ...
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Wie wandelt man gemischte Zahlen in Dezimalzahlen um?
Du kannst die gemischten Zahlen wie Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Dafür gehst du wie folgt vor:
- Lass die ganze Zahl einfach stehen,
- schreibe ein Komma hinter die ganze Zahl und
- füge hinter dem Komma den umgewandelten Bruch als Dezimalzahl hin.
Einige Beispiele sind: \(\color{green}{2}\color{orange}{\frac{1}{2}}=\color{green}2{,}\color{orange}5\) sowie \(\color{green}{1}\color{orange}{\frac{3}{4}}=\color{green}1{,}\color{orange}{75}\) und \(\color{green}{3}\color{orange}{\frac{2}{3}}=\color{green}3{,}\color{orange}{\bar6}\). Du kannst sie auf dem Zahlenstrahl wiederfinden.
