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Drachen und Raute

8. ‐ 9. Klasse Dauer: 45 Minuten

Was ist ein Drachen und was ist eine Raute in der Mathematik?

Das Drachenviereck und die Raute besitzen jeweils vier Ecken und gehören zu den Vierecken, die dir in der ebenen Geometrie begegnen. Du erkennst ein Drachenviereck daran, dass es zwei Paar gleich lange benachbarte Seiten hat. Eine Raute erkennst du daran, dass alle vier Seiten gleich lang sind.

Sie besitzen noch weitere Eigenschaften, an denen du sie erkennen kannst. Welche das sind, erfährst du in diesem Lernweg. Außerdem erfährst du, wie du den Flächeninhalt und den Umfang beider geometrischer Figuren berechnen kannst. In den Übungen und der Klassenarbeit hast du die Möglichkeit, Beispiele und Erklärungen durchzugehen.

Wie du fehlende Größen eines Drachens berechnest

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Drachen

Drachen

Drachen

Wie du fehlende Größen einer Raute berechnest

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Raute

Raute

Raute

Schlussrunde: Trapez, Drachen, Raute

Schlussrunde: Trapez, Drachen, Raute

Schlussrunde: Trapez, Drachen, Raute

Was du wissen musst

  • Welche Eigenschaften hat ein Drachen?

    Das Drachenviereck \(ABCD\) hat folgende Eigenschaften:

    • Jeweils zwei benachbarte Seiten \(a\) und \(d\) sowie \(c\) und \(b\) sind gleich lang.
    • Die Diagonale \(e\) halbiert die Diagonale \(f\) in \(E\).
    • Die Diagonalen \(e\) und \(f\) stehen senkrecht aufeinander.
    • Die Diagonale \(e\) halbiert die Innenwinkel in \(A\) und in \(C\).
    • Die gegenüberliegenden Innenwinkel in \(B\) und \(D \) sind gleich groß.
    Ein Drachenviereck auf kariertem Papier, Seiten, Ecken und Diagonalen beschriftet.

    Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zu der Diagonalen \(e\).

    Ein Drachenviereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Wenn dieses Drachenviereck mit vier gleich langen Seiten zusätzlich vier rechte Winkel hat, dann ist es ein Quadrat.

  • Welche Eigenschaften hat eine Raute?

    Die Raute \(ABCD\) hat folgende Eigenschaften:

    • Die vier Seiten \(a\), \(b\), \(c\), \(d \) sind gleich lang.
    • Die jeweils gegenüberliegenden Seiten \(a\) und \(c\) sowie \(b\) und \(d\) sind parallel.
    • Die Diagonalen \(e\) und \( f\) halbieren sich gegenseitig in \(E\).
    • Die Diagonalen \(e\) und \( f\) stehen senkrecht aufeinander.
    • Die Diagonalen \(e\) und \( f\) halbieren die jeweiligen Innenwinkel der Raute.
    • Die gegenüberliegenden Innenwinkel sind jeweils gleich groß.
    • Zwei benachbarte Innenwinkel ergänzen sich zu \(180^°\).
    Eine Raute auf kariertem Papier, Seiten, Ecken und Diagonalen beschriftet.

    Die Raute ist achsensymmetrisch zu den beiden Diagonalen \(e\) und \( f\) und punktsymmetrisch in deren Schnittpunkt \(E\).

    Die Raute ist aufgrund der sich gegenüberliegenden parallelen Seiten ein Parallelogramm und somit ein Trapez. Gleichzeitig ist sie ein Drachenviereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Sind die Innenwinkel einer Raute alle gleich groß, dann ist sie ein Quadrat.

  • Wie berechnet man den Flächeninhalt und den Umfang von Drachen und Rauten?

    Das Drachenviereck

    Den Umfang eines Vierecks kannst du aus der Summe aller vier Seitenlängen errechnen. Beim Drachenviereck, das zwei Paar gleich lange Seiten hat, kannst du das Doppelte von der Summe zweier unterschiedlich langer Seiten nehmen.

    \(U_{\text{Drachenviereck}}=2\cdot(a+b) \)

    Den Flächeninhalt eines Drachenvierecks kannst du aus dem Produkt der Diagonalen e und der Hälfte der anderen Diagonalen \( f\) errechnen. Ordnest du die Dreiecke \(AED\) und \(DEC\) wie Puzzleteile unterhalb des Drachenvierecks an, so ergibt sich ein Rechteck mit den Seitenlängen \(e\) und \(\frac{f}{2}\). Daher kannst du den Flächeninhalt wie folgt berechnen:

    \(A _{\text{Drachenviereck}}=e \cdot \frac{f}{2}\)

    Ein Drachenviereck auf kariertem Papier, die für den Flächeninhalt wichtigen Komponenten sind hervorgehoben.

    Die Raute

    Den Umfang eines Vierecks kannst du aus der Summe aller vier Seitenlängen errechnen. Bei der Raute sind alle vier Seiten gleich lang. Du kannst also viermal eine Seite zusammenzählen.

    \(U_{\text{Raute}}=4\cdot a\)

    Den Flächeninhalt einer Raute kannst du aus dem Produkt der Diagonalen \(e\) und der Hälfte der anderen Diagonalen \( f\) errechnen. Ordnest du die Dreiecke \(AED\) und \(DEC\) wie Puzzleteile unterhalb der Raute an, so ergibt sich ein Rechteck mit den Seitenlängen \(e\) und \(\frac{f}{2}\). Daher kannst du den Flächeninhalt wie folgt berechnen:

    \(A _{\text{Raute}}=e \cdot \frac{f}{2}\)

    Eine Raute auf kariertem Papier, die für den Flächeninhalt wichtigen Komponenten sind hervorgehoben.
  • Wie konstruiert man Drachen und Rauten?

    Mit einem Geodreieck kannst du Drachen und Rauten konstruieren. Dafür benötigst du jedoch immer mindestens eine Winkelangabe.

    Das Drachenviereck

    Um ein Drachenviereck mit dem Geodreieck zu konstruieren, benötigst du mindestens die Angabe eines Winkels \(\alpha\) und die Länge von zwei unterschiedlich großen Seiten \(a\) und \(b\). Für die Konstruktion helfen dir die Eigenschaften, dass das Drachenviereck jeweils zwei Paar gleich lange Seiten hat (\(a=d\) und \(b=c\)), dass die Diagonale \(e\) die Innenwinkel halbiert und somit eine Symmetrieachse bildet sowie dass die Diagonalen \(e\) und \( f\) senkrecht aufeinanderstehen.

    Konstruktion eines Drachenvierecks mit dem Geodreieck, Schritt 1/3
    Konstruktion eines Drachenvierecks mit dem Geodreieck, Schritt 2/3
    Konstruktion eines Drachenvierecks mit dem Geodreieck, Schritt 3/3

    Die Raute

    Um die Raute mit dem Geodreieck zu konstruieren, benötigst du mindestens die Angabe eines Winkels \(\alpha\) und die Länge einer Seite \(a\). Für die Konstruktion helfen dir die Eigenschaften, dass alle Seiten gleich lang sind, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel sind und dass die Diagonalen \(e\) und \( f\) senkrecht aufeinanderstehen und gleichzeitig die Innenwinkel halbieren und somit Symmetrieachsen bilden.

    Du kannst also wie bei dem Drachenviereck zunächst zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel konstruieren und dann entweder direkt die parallelen Seiten mit dem Geodreieck einzeichnen oder wieder über die Diagonalen gehen.