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Lexikon Mathe

Reelle Zahlen

Die Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen ist der „größte“ Zahlenbereich, den man normalerweise in der Schule kennenlernt. Man kann sie folgendermaßen beschreiben:

  • Die reellen Zahlen sind die Vereinigungsmenge aus der  Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen, für dies keinen eigenen „Mengenbuchstaben“ gibt:
    \(\mathbb R = \mathbb Q \cup \{\text{irrationale Zahlen} \}\)

  • Die reellen Zahlen sind alle Dezimalzahlen: die abbrechenden (endlichen), periodischen und die nichtabbrechenden nichtperiodischen.

Diese beiden Beschreibungen sind natürlich äquivalent, denn die abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen entsprechen gerade den rationalen und die nichtabbrechenden nichtperiodischen den irrationalen Zahlen.

  • Die reellen Zahlen sind die Zahlen auf der Zahlengeraden, es gibt keine Werte auf der Zahlengeraden, die nicht einer reellen Zahl entsprechen würden. Aus diesem Grund kann man auch reellwertige Funktionen mit reellem Definitionsbereich im Achsenkreuz darstellen.

Eine Teilmenge von \(\mathbb R\), die alle reellen Zahlen zwischen zwei gegebenen Grenzen a und b enthält, nennt man ein Intervall. Mithilfe einer Folge von ineinander geschachtelten Intervalle, deren Länge gegen null konvergiert, kann man jede reelle Zahl (insbesondere die irrationalen) sauber und eindeutig definieren (Intervallschachtelung).

In der Menge der reellen Zahlen hat nicht nur jede Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine Lösung, sondern auch jede Wurzel, sofern sie nicht aus einer negativen Zahl gezogen werden soll.

 

Anmerkung: Wenn man unbedingt möchte, dass auch aus negativen Zahlen Wurzeln oder auch Logarithmen gezogen werden dürfen, muss man die reellen Zahlen zur Menge \(\mathbb C\) der sog. komplexen Zahlen erweitern. Dort ist dann „alles“ erlaubt außer durch null zu teilen oder den Logarithmus von null zu bilden. Die komplexen Zahlen sind zwar wirklich ziemlich interessant, aber nur in Ausnahmefällen Schulstoff und werden deshalb in diesem Lexikon nicht weiter behandelt.

 

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