Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du das Volumen von zusammengesetzten Rotationskörpern berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du das Volumen von zusammengesetzten Rotationskörpern berechnest

Aufgabe

Die Punkte A(0|0), B(2|1) und C(0|2) legen das Dreieck fest. Die Fläche des Dreiecks rotiert um die y-Achse. Wie groß ist das Volumen des dabei entstehenden Drehkörpers?

Schritt 1: Skizze und Ansatz

Zeichne dir zuerst das vorgegebene Dreieck in ein Koordinatensystem ein:

Wie du das Volumen von zusammengesetzten Rotationskörpern berechnest - Abbildung 1

Die Rotation um die y-Achse erzeugt eine Art Drehkreisel mit zwei Spitzen: eine oben und eine unten. Der so entstehende Körper besteht also aus zwei Kegeln, deren Grundflächen zusammengeklebt sind. Die Volumenformel für einen Kegel musst du auswendig wissen: \(V_{K}=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h\), wobei G die Grundfläche und h die Höhe (Abstand der Spitze zur Grundfläche) ist.

Schritt 2: Volumina der einzelnen Teilkörper berechnen

Betrachte zuerst den oberen Kegel (links: Seitenansicht; rechts: von unten). 

Wie du das Volumen von zusammengesetzten Rotationskörpern berechnest - Abbildung 2Wie du das Volumen von zusammengesetzten Rotationskörpern berechnest - Abbildung 3

Dessen Grundfläche hat den Mittelpunkt M auf der y-Achse auf der Höhe 1. Die Grundfläche ist kreisförmig mit Radius 2 (Abstand von M zu B). Der Flächeninhalt der Grundfläche errechnet sich mit der Formel \(A=\pi r^{2}\),

wobei hier der Radius r = 2  ist. Unsere Grundfläche hat somit den Inhalt \(G=\pi\cdot 2^{2}=4\pi\). Die Höhe des Kegels ist der Abstand von M zu C (siehe linkes Bild), also 1 LE.

Laut Volumenformel für den Kegel hat also die obere Hälfte des Rotationskörpers den Rauminhalt \(V_{K}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot4\pi\cdot1=\frac{4}{3}\pi\ [VE]\).

Der untere Kegel hat dieselbe Grundfläche wie der obere und seine Höhe ist der Abstand von M zu A, also 1. Somit ist er genauso groß wie der obere Kegel.

Insgesamt hat der Rotationskörper deswegen das Volumen \(V_{K}=2 \cdot V_{K}=2\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{8}{3}\pi\).

Lösung

\(V_{K}=2 \cdot V_{K}=2\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{8}{3}\pi\)

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Videos findest du hier