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Wie du die Oberfläche von Pyramiden berechnest


Aufgabe

Gegeben ist eine gerade Pyramide mit der Höhe \(h= 5\ cm\). Die Grundfläche ist quadratisch mit der Seitenlänge \(a=4\ cm\). Bestimme den Oberflächeninhalt.

Wie du die Oberfläche von Pyramiden berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Berechne die Mantelfläche

Die Mantelfläche einer Pyramide besteht immer aus mehreren Dreiecken. Hier sind es 4 Stück, die noch dazu alle gleich groß sind.
Die Grundlinie hat jeweils die Länge \(a=4\ cm\). Die Höhe der Dreiecke bestimmst du mit dem Satz des Pythagoras. Du brauchst dazu die Höhe der Pyramide und die Verbindung vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Seite.

Wie du die Oberfläche von Pyramiden berechnest - Abbildung 2

Somit ist die Seitenhöhe jeweils:

\(h_a = \sqrt{ (5\ cm)^2 + (2\ cm)^2} = \sqrt{ 29\ cm^2} = 5,39\ cm\)

Für die Seitenflächen gilt nun:

\(A= \frac{1}{2} \cdot 4\ cm \cdot 5,39\ cm = 10,78\ cm^2\)

Die Mantelfläche besteht ja aus 4 Dreiecken. Es gilt also:

\(A_M = 4 \cdot 10,78\ cm^2 = 43,12\ cm^2\).

Schritt 2: Berechne die Grundfläche

Die Grundfläche ist hier ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a=4\ cm\). Der Inhalt der Grundfläche ist deshalb:

\(A_G =(4\ cm)^2 = 16\ cm^2\).

Schritt 3: Berechne die Oberfläche

Jetzt musst du nur noch die Grund- und die Mantelfläche addieren und erhältst die gesamte Oberfläche.

\(A_O = A_M + A_G= 43,12\ cm^2 + 16\ cm^2 = 59,12\ cm^2\)

Lösung

\(A_O = 59,12\ cm^2\)

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