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Was sind Zahlenmengen?

Eine Menge ist in der Mathematik eine Zusammenfassung von Elementen. Eine Zahlenmenge beschreibt eine Menge von Zahlen. Diese Definition für Zahlenmengen klingt im ersten Moment vielleicht etwas komisch. Du kannst dir vorstellen, dass du bestimmte Zahlen in einen großen Sack steckst. Der gefüllte Sack ist dann deine Zahlenmenge. In diesem Lernweg erhältst du eine Erklärung zu wichtigen Zahlenmengen und erfährst, wie man sie angibt und wie man mit ihnen rechnen kann. 

Wenn du noch weiter zu diesem Thema üben möchtest, kannst du die interaktiven Übungen zu Zahlenmengen sehr gut nutzen. Um dein Wissen auf die Probe zu stellen, eignen sich die Aufgaben mit Zahlenmengen in den Klassenarbeiten zu den natürlichen Zahlen.

Zahlenmengen

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Zahlenmengen

Zahlenmengen

Zahlenmengen

Die Menge der natürlichen Zahlen

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Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen

Wie du Zahlenmengen aufstellst

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Zahlenmengen aufstellen

Zahlenmengen aufstellen

Zahlenmengen aufstellen

Schlussrunde: Zahlenmengen angeben

Schlussrunde: Zahlenmengen angeben

Schlussrunde: Zahlenmengen angeben

Schlussrunde: Zahlenmengen angeben

Was du wissen musst

  • Was ist die Menge der natürlichen Zahlen?

    Alle Zahlen, mit denen du etwas zählst, bilden die Menge der natürlichen Zahlen. Diese Zahlenmenge beschreibt alle Zahlen ab \(0\). Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, was bedeutet, dass diese Menge unendlich groß ist. Das Zeichen für natürliche Zahlen ist der Buchstabe N mit einem doppelten Querbalken. 

    \(\mathbb{N} = \{0;1;2;3;4;\ldots\}\)

    In manchen Büchern wird die \(0\) nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt. Das ist eine Frage der Definition. Man kann die Menge so oder so definieren.

  • Wie gibt man Zahlenmengen an?

    Um eine Zahlenmenge in der Mathematik anzugeben, gibt es eine bestimmte Schreibweise. Du benennst deine Zahlenmenge meistens mit einem Symbol. In geschweiften Klammern schreibst du die Elemente der Zahlenmenge und trennst sie mit einem Semikolon. Ein Beispiel: Die Zahlenmenge \({A} \) besteht aus den Elementen \(2\),\(6\),\(14\) und \(55\). Du würdest sie wie folgt angeben:

    \(A = \{2;6;14;55\}\)

    Elemente angeben

    Ob eine Zahl ein Element einer Menge ist, kannst du mit einem Elementzeichen \(\in\) angeben. Wenn du schreiben möchtest, dass eine Zahl kein Element einer Zahlenmenge ist, nutzt du ein durchgestrichenes Elementzeichen. 

    • Die Zahl \(14\) ist ein Element der Zahlenmenge \(A\) \(14 \in A\)
    • Die Zahl \(17\) ist kein Element der Zahlenmenge \(A\) \(17 \notin A\)

    Teilmengen angeben

    Die Teilmenge beschreibt eine Beziehung zwischen Mengen. Wenn eine Zahlenmenge in einer anderen enthalten ist, dann handelt es sich um eine Teilmenge. Das Symbol für eine Teilmenge ist \(\subseteq\). Um anzugeben, dass eine Menge keine Teilmenge ist, benutzt du \(\nsubseteq\).

    • \(A\) ist Teilmenge von \(B\): \(A\subseteq B\)
    • \(A\) ist keine Teilmenge von \(C\):\(​​A\nsubseteq C\)
  • Wie rechnet man mit Zahlenmengen?

    Eine Übersicht aller Operationen mit Zahlenmengen mit einem Beispiel kannst du hier sehen:

    Grafische Darstellung zweier Zahlenmengen H und I. Drei ihrer Elemente sind in beiden Mengen enthalten.

    \(H = \{3;7;18;44;102\}\)

    \(I = \{1;3;12;18;24;102\}\)

    Schnittmenge: \(\cap\)

    Die Schnittmenge zweier Zahlenmengen gibt an, welche Elemente in beiden Mengen vorkommen.

    \(H \cap I = \{3;18;102\}\)

    Grafische Darstellung der Schnittmenge der Mengen H und I. Farblich markiert ist der Bereich derjenigen Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

     

    Vereinigungsmenge: \(\cup\)

    Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die in den beiden Mengen vorkommen.

    \(H \cup I = \{1;3;7;12;18;24;44;102\}\)

    Grafische Darstellung der Vereinigung der Zahlenmengen H und I.

    Restmenge: \(\setminus\)

    Die Restmenge enthält die Elemente, die nur in einer Menge enthalten sind.

    Restmenge von \(H\)\(H\setminus I=\{7;44\}\)

    Grafische Darstellung der Teilmenge H\I. Farblich markiert ist der Bereich derjenigen Elemente, die ausschließlich in H enthalten sind.

    Restmenge von \(I\)\(I\setminus H=\{1;12;24\}\)

    Grafische Darstellung der Teilmenge I\H. Farblich markiert ist der Bereich derjenigen Elemente, die ausschließlich in I enthalten sind.

  • Welche wichtigen Zahlenmengen gibt es noch?

    Die leere Menge ist eine Menge, die keine Elemente beinhaltet. Für sie kann man das Symbol \(\varnothing\) verwenden.

    Die Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse, die möglich sind. Man verwendet sie bei Zufallsexperimenten. Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments ist ein Ergebnis. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge.

    Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen kommt es oft vor, dass es nicht nur eine mögliche Lösung gibt. Um alle möglichen Lösungen korrekt anzugeben, gibt man eine Lösungsmenge an, die alle möglichen Lösungen beinhaltet.

    Es gibt auch Mengen anderer Zahlenbereiche, beispielsweise die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\). Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet alle Zahlen, die auch in der Menge der natürlichen Zahlen vorkommen, und zusätzlich die entsprechenden negativen Zahlen.