Zahlenfolgen fortsetzen

Was du wissen musst

• Welche Rechenschritte können in einer Zahlenfolge vorkommen?

  Bei Zahlenfolgen können alle Operationen, die du kennst, vorkommen:

  • plus,
  • minus,
  • mal und
  • geteilt.

  Später kommen noch weitere hinzu (z. B. Wurzelziehen, Potenzen, trigonometrische Funktionen). Aber das Prinzip bleibt immer das gleiche.

  Du kannst dich nicht immer darauf verlassen, dass nur eine Rechenoperation vorkommt. Manchmal werden mehrere gleichzeitig oder abwechselnd verwendet. Das ist aber eher die Ausnahme.

• Wie löst man eine Aufgabe zu Zahlenfolgen?

  Beim Lösen von Aufgaben zu Zahlenfolgen geht es meist darum, die vorgegebene Zahlenfolge fortsetzen zu können. Dazu schaust du dir zunächst das an, was du kennst: die ersten Glieder der Folge.

  Du musst dir überlegen, durch welche Operation man von der ersten Zahl auf die zweite kommt, von der zweiten auf die dritte und so weiter. Wichtig ist dabei, dass die Schritte immer nach dem gleichen Schema funktionieren.

  Häufig kommen während eines Schrittes mehrere Operationen in frage. Dann musst du überprüfen, welches Schema bei allen Schritten passt. Und nicht immer reicht es aus, nur einen Rechenschritt zu betrachten. Manchmal wiederholt sich das Rechenschema nur alle zwei Zahlen.

  Beispiel:
  \(1; \, 2; \, 4 ; \, 5;\,10;\,11;\, \dots\)
  Beim ersten Schritt wird entweder \(+\,1\) oder \(\cdot \,2\) gerechnet.
  Erst wenn mehr Glieder betrachtet werden, ist klar, dass immer abwechselnd \(1\) addiert und anschließend verdoppelt wird.

  Dir kann auch dein Bauchgefühl beim Ausprobieren helfen. Wenn du eine Zahlenfolge siehst und sofort eine Idee hast, was die nächste Zahl sein könnte, probiere ruhig aus, ob sie passt. Schreibe sie hin und überlege dir, durch welchen Rechenschritt du auf deine Lösung gekommen bist. Wenn du mit der gleichen Rechenoperation auch die Schritte zwischen den anderen Gliedern der Folge erklären kannst, ist deine Lösung richtig.

• Wozu braucht man Zahlenfolgen in der Mathematik?

  Im Mathematikunterricht werden Zahlenfolgen zum einen benutzt, da man damit sehr gut trainieren kann, ein Rechenschema (also das „Rezept“) zu erkennen und zu befolgen oder es sich sogar selbst auszudenken. In der Mathematik nennt man dieses Rechenschema auch Algorithmus.

  Zum anderen beschäftigt man sich insbesondere in dem Teilgebiet der Mathematik, das Analysis genannt wird, mit Zahlenfolgen. Dort fragt man sich zum Beispiel, was herauskommt, wenn man versucht, alle Glieder der Folge zu addieren. Manchmal findet man dadurch interessante Möglichkeiten, Zahlen darzustellen.

  Schließlich werden Zahlenfolgen auch als Grundlage für die Betrachtung von Reihen benötigt. Eine Reihe ist das, was herauskommt, wenn du von einer Zahlenfolge nur die erste Zahl nimmst, die ersten beiden addierst, die ersten drei addierst und so weiter.

• Welche sind bekannte Zahlenfolgen?

  • Die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N} \)
    Die natürlichen Zahlen sind die einfachste Zahlenfolge. Du startest mit \(1\) und addierst für jede weitere Zahl immer \(1\) zum Vorgänger:
    \(1; \, 2; \, 3 ; \, 4;\, \dots\)
  • Die geraden Zahlen
    Du erhältst sie ähnlich wie die natürlichen Zahlen, nur dass du bei \(2\) beginnst und immer \(2\) addierst:
    \(2; \, 4; \, 6 ; \, 8;\, \dots\)
  • Die Fibonacci-Folge
    Du beginnst mit \(1\) und addierst immer die letzten zwei Zahlen zusammen, um die nächste zu erhalten:
    \(1; \, 1; \, 2 ; \, 3;\, 5;\, 8;\, 13;\, \dots\)
  • Eine geometrische Folge
    Bei der bekanntesten geometrischen Folge wird mit \(1\) angefangen und die Zahlen werden immer halbiert:
    \(1; \, \frac{1}{2}; \, \frac{1}{4} ; \, \frac{1}{8};\, \dots\)

• Wofür sind Zahlenfolgen nützlich?

  Zugegeben, im Supermarkt oder auf dem Spielplatz brauchst du keine Zahlenfolgen. Aber das heißt nicht, dass sie nicht trotzdem hilfreich sind.

  • Sie helfen dir dabei, dein logisches Denken zu verbessern.
  • Sie trainieren dich darin, Rechenschemata (also Bildungsvorschriften oder Algorithmen) zu erkennen.
  • Sie kommen häufig in IQ-Tests vor.
  • Sie können manchmal ganz schön schwierige Knobelaufgaben sein.