Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Unter dem  Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen einer Geraden g und einer Ebene E versteht man den nicht stumpfen Winkel zwischen dem Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene der senkrechten Projektion g_E des Richtungsvektors \(\vec u\) der Geraden auf die Ebene. Dies ist also nicht der Winkel \(\psi\) zwischen \(\vec n\) und \(\vec u\), sondern es gilt \(\varphi = 90^\circ - \psi\) (siehe Abbildung).

Dabei sind \(g : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} (\lambda \in \mathbb{R})\) und  \(E: \overrightarrow{n} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a} ) = 0\)  (mit dem Stützvektor bzw. Aufpunkt \(\vec a\)) und „\(\circ\)“ bezeichnet das Skalarprodukt zwischen \(\vec u\) und  \(\vec n\).

Achtung: Wenn die Ebenengleichung nicht in Normalenform vorliegt, muss man sie zunächst entsprechend umwandeln.

Beispiel:

\(g : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \lambda \in \mathbb{R};\)    \(E: 2 x_1 - 6 x_2 + 3 x_3 + 4 = 0\)

\(\displaystyle \sin \varphi = \frac{\left| \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{ 3^2 + 2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14 \cdot 49}}\)

\(\displaystyle \varphi = \sin^{-1}\frac{3}{7 \cdot \sqrt{14}} \approx 6,6^{\circ}\)

Den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden bzw. zwischen zwei Ebenen bestimmt man ganz ähnlich.