Was du wissen musst
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Wie lautet die Formel für Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz?
Die Formeln, die dir in der Prozentrechnung begegnen, kannst du alle ineinander umformen. Du brauchst dir also nur eine zu merken! Der Grundwert (\(G\)) ergibt sich aus der Division von Prozentwert (\(W\)) und Prozentsatz (\(p\) in \(\%\)):
\(\begin{align} G=\frac{W}{p} \end{align}\)
Stellst du diese Formel nach \(W\) bzw. \(p\) um, dann erhältst du jeweils die Formeln, um direkt den Prozentwert bzw. den Prozentsatz auszurechnen.
Grundwert \(G\) Prozentwert \(W\) Prozentsatz \(p\) in \(\%\) \(\begin{align} G=\frac{W}{p} \end{align}\) \(\begin{align} W=G \cdot p \end{align}\) \(\begin{align} p=\frac{W}{G} \end{align}\) Beachte: Wenn du mit dem Prozentfuß bzw. der Prozentzahl rechnest, schreibst du stets \(\%\ (=\frac{1}{100})\) hinter diese Zahl. Die allgemeinen Formeln sehen dann wie folgt aus:
Grundwert \(G\) Prozentwert \(W\) Prozentzahl \(p\) \(\begin{align} G&=\frac{W}{p \text{ }\%} \\ \Leftrightarrow G&=\frac{W\cdot 100}{p } \end{align}\) \(\begin{align} W&=G \cdot p\text{ }\% \\ \Leftrightarrow W&=\frac{G\cdot p}{100} \end{align}\) \(\begin{align} p\text{ }\%&=\frac{W}{G} \\ \Leftrightarrow p&=\frac{W \cdot 100}{G}\end{align}\) -
Wie berechnet man den Grundwert?
Du suchst den Grundwert? Also das Ganze bzw. den ursprünglichen Wert? Dann benötigst du Prozentwert und Prozentsatz. Diese kannst du dann in die Formel für den Grundwert einsetzen.
\(\begin{align} G=\frac{W}{p} \end{align}\)
Beispiel:
Du zahlst für eine Bahnfahrt nur noch \(35\,\text{€}\). Das sind nur \(70\,\%\) des Originalpreises. Wie teuer war die Bahnfahrt dann ursprünglich?\(\begin {align} G=\frac{W}{p}=\frac{35\,€}{70\,\%}=\frac{35\,€\cdot100}{70}=50\,€ \end{align}\)
Manchmal musst du dir den Prozentsatz jedoch erst herleiten. In der Beispielaufgabe könnte zum Beispiel stehen, dass die Bahnfahrt nur noch \(35\,€\) kostet und du dadurch \(30\,\%\) gegenüber dem Originalpreis sparst! Dann musst du im ersten Schritt den passenden Prozentsatz ausrechnen.
\(\begin{align}100\,\%-30\,\%=70\,\% \end{align}\)
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Wie berechnet man den Prozentwert?
Du suchst den Prozentwert? Also den Anteil vom Ganzen? Dann benötigst du Grundwert und Prozentsatz. Diese kannst du dann in die Formel für den Prozentwert einsetzen.
\(\begin{align} W=G \cdot p \end{align}\)
Beispiel:
Von \(750 \) Schülerinnen und Schülern müssen noch \(12\,\%\) ihr Büchergeld bezahlen. Wie viele müssen also noch bezahlen?\(\begin {align} W=G\cdot p=750\cdot12\,\%=\frac{750\cdot12}{100}=90\end{align}\)
Das Büchergeld ist noch von \(90\) Schülerinnen und Schülern zu zahlen.
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Wie berechnet man den Prozentsatz?
Du suchst den Prozentsatz? Also den prozentualen Anteil? Dann benötigst du den Grundwert und den Prozentwert. Diese kannst du dann in die Formel für den Prozentsatz einsetzen.
\(\begin{align} p=\frac{W}{G} \end{align}\)
Beispiel:
Von \(480\) Anwesenden wollen gerade einmal \(96\) etwas essen. Wie viel Prozent der Anwesenden wollen also essen?\(\begin {align} p=\frac{W}{G}=\frac{96}{480}=0{,}2=20\,\%\end{align}\)
Manchmal musst du dir den korrekten Anteil herleiten. In der Beispielaufgabe könnte zum Beispiel stehen: „Fast alle, bis auf \(69\) Personen, holen sich etwas zu trinken. Wie viel Prozent der Anwesenden holen sich etwas zu trinken?“ In diesem Fall hast du zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit
Du berechnest den Anteil an Personen, die sich etwas zu trinken holen:
\(\begin {align} 480-69=411 \end{align}\)
Dann berechnest du den Prozentsatz:
\(\begin {align} p=\frac{W}{G}=\frac{411}{480}=0{,}85625\approx 85{,}6\,\%\end{align}\)
2. Möglichkeit
Du berechnest den prozentualen Anteil an Personen, die nichts zu trinken holen:
\(\begin {align} p=\frac{69}{480}=0{,}14375\approx 14{,}4\,\%\end{align}\)
Dann bildest du die Differenz vom Ganzen (\(100\,\%\)), um herauszufinden, wie viel Prozent etwas zu trinken holen:
\(\begin {align} 100\,\%-14{,}4\,\%=85{,}6\,\% \end{align}\)