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Brüche ordnen

6. ‐ 7. Klasse Dauer: 35 Minuten

Was bedeutet es, Brüche zu ordnen?

Wie die natürlichen Zahlen lassen sich auch Brüche der Größe nach ordnen. Es geht also darum, zu untersuchen, ob ein Bruch größer oder kleiner als ein anderer ist. So ist zum Beispiel \(\frac{1}{3}\) kleiner als \(\frac{2}{3}\). Dir ist sicher schon aufgefallen, dass man Brüche unterschiedlich darstellen kann. Das bedeutet, dass unter anderem der Bruch \(\frac{2}{4}\) als \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden kann. Dadurch wird das Vergleichen der Brüche etwas schwieriger.

In diesem Abschnitt wirst du lernen, wie du Brüche ordnen kannst und welche Fähigkeiten du dafür benötigst. Auch wirst du lernen, wie man die Zahlen dann an einem Zahlenstrahl darstellt. Schau dir dafür die Videos an und wiederhole dein Wissen in den Übungen. Wenn du dir sicher beim Umgang mit Brüchen bist, schau in die Klassenarbeiten.

Wie du Brüche der Größe nach ordnest

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Brüche ordnen

Brüche ordnen

Brüche ordnen

Wie du Brüche am Zahlenstrahl darstellst

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe

Trage die angegebenen Zahlen am Zahlenstrahl ein.

\(\frac{1}{2}, \frac{4}{2}, \frac{1}{3}, \frac{6}{3},\frac{3}{4},\frac{8}{6}, \frac{9}{4}\)

Schritt 1: Brüche auf den Hauptnenner bringen

Um die richtige Einteilung des Zahlenstrahls zu finden, musst du zuerst alle Brüche auf einen Hauptnenner bringen. Bei so vielen unterschiedlichen Nennern bietet es sich an, das kgV zu bestimmen und anschließend die Brüche zu erweitern.

kgV(2,3,4,6) = 12

\(\frac12=\frac{1\;\cdot\;6}{2\;\cdot\;6}=\frac{6}{12}\\ \frac42=\frac{4\;\cdot\;6}{2\;\cdot\;6}=\frac{24}{12}\\ \frac13=\frac{1\;\cdot\;4}{3\;\cdot\;4}=\frac{4}{12}\\ \frac63=\frac{6\;\cdot\;4}{3\;\cdot\;4}=\frac{24}{12}\\ \frac34=\frac{3\;\cdot\;3}{4\;\cdot\;3}=\frac{9}{12}\\ \frac86=\frac{8\;\cdot\;2}{6\;\cdot\;2}=\frac{16}{12}\\ \frac94=\frac{9\;\cdot\;3}{4\;\cdot\;3}=\frac{27}{12}\\\)

Schritt 2: Zahlenstrahl zeichnen

Da jetzt alle Brüche den gleichen Hauptnenner haben, kannst du nun den Zahlenstrahl zeichnen. Du teilst die Abschnitte von 0 bis 1 und von 1 bis 2 in 12 gleich große Abschnitte. Warum in 12 Abschnitte? Weil der Hauptnenner aller Brüche die 12 ist und somit sind \(\frac{12}{12}\) ein Ganzes. Achte darauf, dass du deinen Zahlenstrahl etwas länger als zwei Abschnitte zeichnest, da dein größter Bruch \(\frac{27}{12}\) ist.

 


Schritt 3: Brüche eintragen

Nun kannst du die Brüche am Zahlenstrahl eintragen. Das ist ganz leicht: Du orientierst dich am Zähler des erweiterten Bruchs und zählst einfach die Teilabschnitte ab und trägst an der richtigen Stelle den Bruch ein. Beginne beim Zählen am Anfang deines Zahlenstrahls.

 


Lösung

 

Brüche auf Zahlenstrahl darstellen

Brüche auf Zahlenstrahl darstellen

Brüche auf Zahlenstrahl darstellen

Was du wissen musst

  • Welche Eigenschaften von Brüchen sind beim Vergleichen und ordnen wichtig?

    Brüche bestehen aus drei Teilen:

    • Zähler
    • Nenner
    • Bruchstrich

    Der Bruchstrich zeigt, dass es sich bei der vorhanden Zahl um einen Bruch handelt. Die anderen beiden Elemente geben Auskunft über die Größe der Zahl.

    Der Nenner gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wird. Im Fall von \(\frac{3}{4}\) bedeutet das, dass etwas in \(4\) Teile geteilt wurde. Brüche lassen sich am besten vergleichen, wenn sie gleichnamig sind. Dass bedeutet, dass die betreffenden Brüche denselben Nenner haben. So sind \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{3}{4}\) gleichnamig, \(\frac{3}{6}\) und \(\frac{3}{4}\) aber nicht. Um sie gleichnamig zu machen, musst du entweder kürzen oder erweitern. Dabei kann es passieren, dass zwei Brüche gleich groß sind, obwohl sie auf den ersten Blick unterschiedlich aussehen. Das haben wir schon in der Einleitung bei  \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{1}{2}\) gesehen.

    Der Zähler gibt Auskunft über die Anzahl der Teile einer Bruches. Dieser steht immer über dem Bruchstrich und hat beim Bruch \(\frac{3}{4}\) die Größe \(3\). Er muss betrachtet werden, um gleichnamige Brüche zu vergleichen.

  • Wie vergleicht man Brüche miteinander?

    Um Brüche miteinander zu vergleichen, musst du erst die

    • Gleichnamigkeit prüfen.

    Gegebenenfalls muss du diese dann

    Sind die Brüche schon gleichnamig, kannst du den zweiten Schritt überspringen. Zu guter Letzt werden die

    • Zähler verglichen.

    Ein wichtiger Sonderfall ist der gemischte Bruch. Hierbei musst du auch die ganzen Teile in den nachgestellten Bruch mit einbringen.

  • Wie stellt man geordnete Brüche dar?

    Geordnete Brüche lassen sich am Zahlenstrahl oder mit sogenannten Ordnungsrelationen \(\left( <, \leq, \geq, > \right)\) darstellen.

    Wir schauen uns das am Beispiel \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{6}{8}\) an. Das sind ungleichnamige Brüche, für die \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\) und \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) gilt. Durch das Vergleichen der Zähler erkennen wir, dass \(\frac{1}{2}\) kleiner als \(\frac{6}{8}\) ist.

    Das kann man auch mit dem Symbol \(<\) (sprich: „kleiner als“) aufschreiben: \(\frac{1}{2} < \frac{6}{8}\). Am Zahlenstrahl ist das Ganze anschaulicher. Trage die Werte dazu an den richtigen Stellen ein. Je weiter links eine Zahl auf dem Strahl ist, desto kleiner ist sie.

    Zahlenstrahl, wo Brüche gewordnet werden.

     

  • Wozu muss man Brüche ordnen?

    Brüche spielen wie jeder andere Zahlentyp im Alltag eine große Rolle. In den USA hat sich jedoch etwas ereignet, dass noch einmal die Wichtigkeit des Zahlenordnens unterstreicht. So hatten zwei konkurrierende Fast-Food-Ketten den gleichen Burger zum selben Preis. Der einzige Unterschied war, dass der eine Burger mehr wog als der andere:

    • einer wog \(\frac{1}{3}\) Pfund (\(\approx 151{,}2 \text{ g}\))
    • der andere wog \(\frac{1}{4}\) Pfund (\(\approx 113{,}4 \text{ g}\))

    Die Kunden haben aber immer den kleineren gekauft. Das lag unter anderem daran, dass sie \(\frac{1}{4}\) für größer als \(\frac{1}{3}\) hielten. Zwar gab es sicherlich auch andere Gründe, doch ändert das nichts an dem grundlegenden Fehler, der gemacht wurde. Damit dir so was nicht passiert, solltest du Brüche auf jeden Fall ordnen können. Denn trügerische Angaben werden nicht nur bei Fast Food gemacht.