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Lexikon Mathe

Antiproportionale Zuordnung

Bei einer antiproportionalen bzw. indirekt oder umgekehrt proportionalen Zuordnung sind Ausgangsgröße x und zugeordnete Größe y (unabhängige und abhängige) produktgleich. Das bedeutet, dass das Produkt aus beiden Größen immer gleich groß ist, z. B. gleich einer Konstanten k:

x · y = k

Beispiel:
Ein physikalisches Beispiel sind Zeit und Geschwindigkeit bei einem 5000-m-Wettrennen. Wenn ich nur 10 km/h schaffe, brauche ich 30 min, bei der doppelten Geschwindigkeit von 20 km/h immerhin noch 15 Minuten, also die halbe Zeit, wenn ich mein Rennrad nehme und das vierfache Tempo 40 km/h erreiche, brauche ich nurr noch 7,5 Minuten, also ein Viertel der Zeit usw.

Ausgangsgröße zugeordnete Größe Produkt
1 30 30
2 15 30
3 10 30
4 7,5 30
5 6 30
6 5 30

Ein anderes, häufig aufgeführtes Beispiel sind die Seitenlängen eines Rechtecks mit vorgegebenem Flächeninhalt: Das Produkt der Seitenlängen ist der Flächeninhalt, wenn eine größer wird, muss die andere entsprechend „im Verhältnis“ verkürzt werden.

Man solch eine Zuordnung auch als „Je-mehr-desto-weniger-Zuordnung“ beschreiben: Je mehr man von der einen Größe hat, desto weniger wird es von der anderen und umgekehrt. 

Wenn zwischen zwei Größen x und y eine antiproportionale Zuordnung besteht bzw. zwei Größen antiporportional zueinander sind, ist die eine Größe proportional zum Kehrwert der anderen. Man schreibt daher auch \(\displaystyle x \sim \frac 1 y\) oder auch \(\displaystyle x \propto \frac 1 y\).

Der Funktionsgraph einer antiproportionalen Funktion ist eine Hyperbel.

 

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