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Wie du die Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmst


Aufgabe

Bestimme die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktion f mit:
\(f(x)= x^3 - 5x^2 - 2x +24\)

Schritt 1: „Errate“ die erste Nullstelle

Da es sich bei dieser Funktion um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, kann sie maximal 3 Nullstellen haben. Die erste Nullstelle kannst du einfach durch „geschicktes Raten“ herausfinden. Dazu betrachtest du die letzte Zahl des Polynoms, das sogenannte konstante Glied. Das ist die Zahl, bei der kein x steht. Hier ist es die \(24\). Als Nullstellen der Funktion kommen alle Zahlen infrage, die Teiler dieser Zahl sind, also bei der \(24\):
\(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 8,\ \pm12,\ \pm24\)
Du kannst eine Zahl nach der anderen einsetzen und ausprobieren, ob \(0\) herauskommt.

\(f(1)=18 \neq 0 \\ f(-1)= 20 \neq 0 \\ f(2) = 8 \neq 0 \\ f(-2) = 0\)

Für \(x=-2\) hast du den ersten Treffer! Die erste Nullstelle ist somit \(N_1(-2|0)\). Sobald du den ersten Treffer hast, musst du nicht länger raten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich berechnen.

Schritt 2: Führe eine Polynomdivision durch

Du weißt nun: Der Funktionswert ist bei \(x=-2\) gleich \(0\). Damit zerfällt der Funktionsterm in zwei Faktoren, von denen du den ersten jetzt kennst: Er ist \((x+2)\). Dieser sogenannte Linearfaktor sorgt dafür, dass das ganze Polynom \(0\) wird, wenn du \(x=-2\) einsetzt.

Vorsicht Vorzeichen! Der Linearfaktor hat hier die Form \((x \color{red}{+}2)\). Wenn die Nullstelle bei \(x=2\) wäre, müsstest du \((x \color{red}{-}2)\) schreiben!

Du kannst die Funktion also schreiben als:
\(x^3 - 5x^2 - 2x +24 = (x+2) \cdot a(x)\)
(\(a(x)\) ist ein Polynom 2. Grades.)

Das ist dasselbe wie:
\((x^3 - 5x^2 - 2x +24):(x+2)= a(x)\)

Um das Polynom \(a(x)\) zu bestimmen, führst du nun eine Polynomdivision durch.

\(\ \ (x^3-5x^2-2x+24):(x+2)=x^2-7x+12 \\ \underline{-(x^3+2x^2)} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -7x^2 \\ \ \ \ \ \ \underline{ -( -7x^2 -14x)}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\underline{(12x+24)} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\)

Schritt 3: Verwende den Satz von Vieta

Jetzt hast du nur noch ein Polynom 2. Grades. Hier ist es relativ einfach, die Nullstellen zu bestimmen. Du könntest zum Beispiel die Mitternachtsformel anwenden. Schneller geht es mit dem Satz von Vieta. Du betrachtest den Term \(x^2 \color{red}{-7}x \color{green}{+12}\) und suchst zwei Zahlen \(p\) und \(q\) für die gilt:
\(p \cdot q = \color{green}{+12}\) und
\(p+q = -(\color{red}{-7})\)

Mit den Zahlen \(p=3\) und \(q=4\) klappt es:
\(3 \cdot 4 = \color{green}{+12}\)  und
\(3+4 = -(\color{red}{-7})\)

Jetzt hast du mit \(x=3\) und \(x= 4\) auch die letzten beiden Nullstellen gefunden: \(N_2(3|0)\) und \(N_3(4|0)\).

Lösung

Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-2|0)\)\(N_2(3|0)\) und \(N_3(4|0)\).

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