Logarithmus

Der Logarithmus von x zur Basis a ist diejenige reelle Zahl r, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. x wird dabei auch der Numerus genannt.

Man schreibt dies

$\displaystyle \log_a x = r \ \ \Leftrightarrow \ \ a^r = x \ \ (a \in \mathbb R^+\! \setminus \{1\}, \ x \in \mathbb R^+)$

und liest „Logarithmus von x zur Basis a“.

Aus der Definition ergeben sich drei Sonderfälle:

• log_aa = 1, da a¹ = a,

• log_a 1 = 0, da a⁰ = 1,

• log_a a^c = c, da a^c = a^c.

Beispiele:

• log₂ 8 = 3, da 2³ = 8,

• $\displaystyle \log_4 \frac{1}{16} = - 2,$ da $\displaystyle 4^{ - 2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

• $\displaystyle \log_3 \sqrt[4]{3^3} = \frac{3}{4} ,$ da $\displaystyle 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3}$

Für einige besondere Basen benutzt man eigene Namen und Symbole:

Achtung: Manchmal schreibt man einfach „log x“, ohne eine Basis anzugeben. Dann ist häufig, aber bei weitem nicht immer der dekadische bzw. 10-er Logarithmus gemeint!

Zwischen zwei verschiedenen Basen rechnet man den Logarithmus folgendermaßen um:

$\displaystyle \log_a x = \frac{1}{\log_b a} \cdot \log_b x$

insbesondere gilt für die Umrechnung auf den natürlichen Logarithmus

$\displaystyle \log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x$

Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die sog. Logarithmensätze.

In der Analysis untersuscht man die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen.