Grenzwert von Zahlenfolgen

Wenn sich eine Zahlenfolge (a_n) mit wachsendem n beliebig dicht an einen bestimmten Wert g annähert, nennt man diese Zahl g den Grenzwert der Folge. Man sagt auch, dass die Folge gegen g konvergiert. Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann divergiert sie (bzw. ist sie divergent). Eine Folge mit dem Grenzwert 0 ist eine Nullfolge. Da die Partialsummen einer Reihe wiederum eine Folge bilden, kann man auch mögliche Grenzwerte von Reihen untersuchen.

Wenn die Folge (a_n) den Grenzwert g hat, dann sind höchstens endlich viele (auf mathematisch heißt das so gut wie keine, auch wenn es Millionen Glieder sein sollten) Folgenglieder weiter als eine beliebig kleine Zahl $\epsilon \in \mathbb R$ von g entfernt.

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(a_n) = g$

und liest „Limes a n für n gegen unendlich gleich g“. Limes ist das lateinische Wort für „Grenze“.

Beispiele:
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( c \right) = c$,   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac 1 n \right) = 0$,   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{-5n^2+1}{3n^2} \right) = -\frac{5}{3}$

Die Folge (2n) und die alternierende Folge (–1)ⁿ haben keinen Grenzwert, sie sind divergent. Im ersten Fall wachsen die Folgenglieder für immer größeres n über alle Grenzen an, und man schreibt $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 2n \right) = \infty$. Das Zeichen „$\infty$“ heißt „unendlich“. Funktionen und Folgen können auch gegen „minus unendlich“ gehen, etwa $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( -n^2 \right) = -\infty$.

Achtung: Auch wenn man die Symbole  „$\pm \infty$“ manchmal als „uneigentliche Grenzwerte“ bezeichnet, sind sie keine Zahlen und man darf nicht mit ihnen „rechnen“.