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Gaußsches Eliminationsverfahren

5. Klasse ‐ Abitur

Das Gaußsche Eliminationsverfahren oder Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist eine Standardmethode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS).

Dabei wird das zu lösende Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen (vgl. Additionsverfahren) und ggf. durch Vertauschen von Gleichungen auf Stufenform gebracht. Anschließend kann schrittweise („von unten nach oben“) nach den Variablen aufgelöst werden.

Beispiel:

\(\begin{matrix} (\text I)& 4 x_1 &-& x_2 &+& 3 x_3 &=& - 1 \\ (\text {II})& - x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 1 & \\ (\text {III})& 2 x_1 &+& x_2 &-& 4 x_3 &=& - 2 \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} (\text I)& 4 x_1 &-& x_2 &+& 3 x_3 &=& - 1 \\ (\text {II}^*) = (\text {II}) + 0,25 \cdot (\text {I}) & & & 0,75 x_2 &-& 0,25 x_3 &=& 0,75 \\ (\text {III}^*) = (\text {III}) - 0,5 \cdot (\text I)& & &1,5 x_2 &-& 5,5 x_3 &=& - 1,5 \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} (I)& &4 x_1 &-& x_2 &+& 3 x_3 &=& - 1 \\ (\text {II}^*) & & & &0,75 x_2 &-& 0,25 x_3 &=& 0,75 \\ (\text {III}^{**}) = (\text {III}^*) - 2 \cdot (\text {II}^*)& & & &&&- 5 x_3 &=& - 3 \end{matrix}\)

Die Stufenform ist erreicht. \(x_3\) wird aus der dritten Gleichung berechnet und in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt:

\(\begin{matrix} 4 x_1 &-& x_2 &+& 3 \cdot 0,6 &=& - 1 \\ && 0,75 x_2 &-& 0,25 \cdot 0,6 &=& 0,75 \\ && &&x_3 &=& 0,6 \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} &4 x_1& -& 1,2 &+& 3 \cdot 0,6 &=& - 1 \\ & &&x_2 &&&=& 1,2 \\ &&&&&x_3 &=& 0,6 \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} & x_1& & && &=& -0,4 \\ & &&x_2 &&&=& 1,2 \\ &&&&&x_3 &=& 0,6 \end{matrix}\)

Das Zahlentripel \((- 0,4|1,2|0,6)\) ist die Lösung des Gleichungssystems: \(L= \{(- 0,4|1,2|0,6)\}\).

 

In Matrizenschreibweise sieht das ganze deutlich eleganter aus:

Erweiterte Koeffizientenmatrix:

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -4 & -2 \end{array}\right)\)

Damit hat die Matrix (obere) Dreiecksform, sie wird nun auf Diagonalform gebracht:

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -0,4 \\ 0 & 1 & 0 & 1,2 \\ 0 & 0 & 1 & 0,6 \end{array}\right)\)

Jetzt hat die Matrix Diagonalform und man kann, genau wie oben, die Lösung direkt ablesen.