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Zinseszinsen berechnen

7. ‐ 8. Klasse Dauer: 15 Minuten

Der Zinseszins ist ein spezieller Fall der Zinsrechnung. Dabei bleibt das Kapital nicht konstant, sondern nach jedem Zinszyklus werden zu dem Kapital die Zinsen aus dem vorherigen Zinszyklus hinzugerechnet. 

Zum Berechnen des Guthabens gibt es eine Formel:

\(G = K (1+p)^n\)

Dabei sind die Formelzeichen: \(G=\) Guthaben, \(K=\) Kapital, \(p=\) Zinssatz, \(n=\) Anlagedauer.

In diesem Lernweg findest du alles, um das Rechnen mit Zinseszinsen üben zu können. Wenn du genug geübt hast, kannst du dein Wissen an den Klassenarbeiten für Zinsrechnung testen.

Wie du Zinseszinsen berechnest

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Zinseszinsen berechnen

Zinseszinsen berechnen

Zinseszinsen berechnen

Was du wissen musst

  • Was muss ich beim Rechnen mit Zinseszins beachten?

    Prinzipiell stehen die Variablen für Kapital, Zinsen und Zinssatz genau für das Gleiche wie bei der Zinsrechnung. Du musst aber auf ein paar Details achten.

    Anlagedauer

    Die Anzahl der Zinszyklen ist meistens in Jahren angegeben. Es können aber auch Monate oder Tage sein. Achte darauf, dass bei der Zinsrechnung ein Jahr immer 12 Monaten oder 360 Tagen entspricht und ein Monat immer 30 Tage hat – egal ob es der Februar oder ein Monat mit 31 Tagen ist. Je nachdem, was du berechnen sollst, musst du die Anlagedauer entsprechend errechnen.

    Schreibweise des Zinssatzes

    Meistens wird der Zinssatz in Prozent angegeben. Um ihn in die Formel einzusetzen, musst du den Prozentsatz in eine Dezimalzahl umwandeln:

    \(p=2{,}5\,\%=\frac{2,5}{100} \Rightarrow \; p= 0{,}025\)

    Manchmal ist diese Umrechnung aber auch schon in die Formel eingebunden:

    \(G = K (1+ \color {red} {\frac{p}{100}})^n\)

    Dann setzt du nicht den Zinssatz, sondern den Prozentfuß ohne Prozentzeichen in die Formel ein:

    \(p=2{,}5\)

    Durch die \(100\) im Nenner der Formel bekommst du aber wieder den Zinssatz:

    \(p = 2{,}5 \Rightarrow\frac{p}{100}=0{,}025\)

    Diese Schreibweise erinnert dich nur noch mal dran, wie man den Prozentfuß in den Zinssatz umwandelt. In der Klammer muss immer die 1 plus eine Dezimalzahl stehen.

  • Wie kann man die Formel für den Zineszins herleiten?

    Die Formel für das Rechnen mit Zinseszinsen lässt sich einfach herleiten. Du musst dazu nur die Potenzgesetze und die binomischen Formeln kennen und fit im Ausklammern sein.

    Überlege dir einfach, wie sich das Kapital und damit auch die erhaltenen Zinsen im jedem Zinszyklus ändern.

    1. Zinszyklus \(G_1= K+K\cdot p= K(1+p)\\[8pt] G_1=K(1+p)^1\)
    2. Zinszyklus \(\begin {align}G_2&= G_1+G_1\cdot p= K(1+p)+K(1+p)p\\ &= K[(1+p)+(1+p)p]\\&=K(1+p+p+p^2)\\ &=K(1+2p+p^2) &\text{1. binomische Formel}\\[8pt] G_2&=K(1+p)^2\end{align}\)
    3. Zinszyklus \(\begin {align} G_3&= G_2+G_2\cdot p= K(1+p)^2+K(1+p)^2p\\ &= K(1+p)[(1+p)+(1+p)p]\\ &=K(1+p)(1+p+p+p^2)\\ &=K(1+p)(1+2p+p^2)&\text{1. binomische Formel}\\ &=K(1+p)(1+p)^2\\[8pt] G_3&=K(1+p)^3 \end{align}\)
    ⇒ Formel \( G_n=K(1+p)^n\)

    Natürlich ist es in einer Prüfung viel besser, wenn du die Formel auswendig kennst oder sie in deiner Formelsammlung nachschlägst. Es ist aber trotzdem sinnvoll, wenn du weißt, wie sich die Formel herleitet.

  • Wozu braucht man den Zinseszins?

    Wenn du später mal mit Geld arbeitest, sei es in einer Bank, mit Kapitalanlagen oder in der Buchhaltung, musst du den Zinseszins sicher beherrschen.

    Aber auch, wenn du als Privatperson dein Geld anlegen oder einen Kredit aufnehmen willst, um dir zum Beispiel ein Haus zu kaufen, wird in dem Vertrag dazu der Zinseszins vorkommen. Um die Verpflichtungen im Vertrag zu begreifen und die Risiken bewerten zu können, ist es gut, wenn du verstanden hast, was der Zinseszins ist, wie er berechnet wird und was die Auswirkungen sind.