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Kapital, Zinssatz und Zinsen

7. ‐ 8. Klasse Dauer: 85 Minuten

Was sind Kapital, Zinssatz und Zinsen?

Wenn es um Geld geht, begegnen dir die Begriffe Kapital (\(K\)), Zinssatz (\(p\) in \(\%\)) und Zinsen (\(Z\)). Sie stammen aus der Zinsrechnung. Du benötigst sie, um das Wachstum des angelegten Geldes in einem bestimmten Zeitraum zu errechnen. Das Kapital bezeichnet den Grundwert des Geldes, das mit einem Prozentsatz verzinst wird. Die Zinsen entsprechen dem Geld, das nach der Verzinsung zusätzlich zum Grundwert vorhanden ist.

Die Prozentrechnung hilft dir, dich mit der Zinsrechnung auseinanderzusetzen. Die Zusammenhänge und Berechnungen, auch zu den Jahres-, Monats- und Tageszinsen, findest du in diesem Lernweg erklärt. Mit den Übungen und der Klassenarbeit kannst du die Begriffe festigen und verschiedene Aufgaben lösen.

Was sind Kapital, Zinsen und Zinssatz?

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Kapital, Zinsen, Zinssatz

Kapital, Zinsen, Zinssatz

Kapital, Zinsen, Zinssatz

Wie du das Kapital berechnest

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Das Kapital berechnen

Das Kapital berechnen

Das Kapital berechnen

Wie du den Zinssatz berechnest

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Den Zinssatz berechnen

Den Zinssatz berechnen

Den Zinssatz berechnen

Wie du Zinsen für ein Jahr berechnest

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Jährliche Zinsen berechnen

Jährliche Zinsen berechnen

Jährliche Zinsen berechnen

Wie du Zinsen für Tage oder Monate berechnest

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Tages- und Monatszinsen berechnen

Tages- und Monatszinsen berechnen

Tages- und Monatszinsen berechnen

Schlussrunde: Zinsrechnung

Schlussrunde: Zinsrechnung

Schlussrunde: Zinsrechnung

Was du wissen musst

  • Wie lauten die Formeln für das Kapital, den Zinssatz und die Zinsen?

    Für das Kapital gilt folgende algebraische Gleichung:

    \(\begin{align} K=\frac{Z}{p} \end{align}\)

    Sie entspricht der dir bekannten Formel für die Umrechnung von Grundwert (\(G\)), Prozentwert (\(W\)) und Prozentsatz (\(p\) in \(\%\)\(%\)) aus der Prozentrechnung:

    \(\begin{align} G=\frac{W}{p} \end{align}\)

    Wenn du Kapital zu einem gewissen Zinssatz anlegen bzw. leihen möchtest, interessiert dich, wie viele Zinsen sich dabei ergeben. Du formst die Gleichung des Kapitals einfach nach \(Z\) um, indem du mit \(p\) erweiterst:

    \(\begin{align} K \cdot p &= Z \end{align}\)

    Wenn dich interessiert, zu welchem Zinssatz das Kapital angelegt wurde, das nach einem Jahr einen gewissen Betrag an Zinsen erwirtschaftet hat, musst du die Gleichung für das Kapital nach \(p\) umstellen:

    \(\begin{align}p &= \frac{Z}{K} \end{align}\)

    Wenn der Zinssatz \(p\) nicht in Prozent angegeben ist und somit ohne die \(\%\)-Angabe gerechnet wird, dann hat das Auswirkungen auf deine Formel. \(p\) ist dann wie bei der Prozentrechnung nicht der Prozentsatz, sondern der Prozentfuß und dieser steht im Verhältnis \(p: 100\). Für die Formeln ergibt sich somit:

    \(\begin{align} K=\frac{Z\cdot 100}{p} \hspace{2cm} Z= \frac{K \cdot p }{100} \hspace{2cm} p=\frac{Z\cdot 100}{K} \end{align}\)

  • Wie berechnet man das Kapital, den Zinssatz und die Zinsen?

    Um das Kapital zu berechnen, benötigst du die Information, wie viel Zinsen mit welchem Zinssatz entstehen. Aus diesen beiden Angaben kannst du mit der obigen Gleichung für das Kapital das Geld errechnen, das angelegt wird.

    \(\begin{align} K=\frac{Z}{p} \end{align}\)

    Um den Zinssatz zu berechnen, benötigst du die Information, wie viel Prozent die Zinsen von dem Kapital ausmachen. Du stellst die Zinsen also im Verhältnis zu dem Kapital dar. Dieses Verhältnis entspricht dem Zinssatz.

    \(\begin{align} p=\frac{Z}{K} \end{align}\)

    Um die Zinsen zu berechnen, benötigst du die Information, mit welchem Zinssatz das Kapital angelegt wird. Der Zinssatz von dem Kapital gibt also an, wie viele Zinsen enstehen.

    \(\begin{align} Z=K \cdot p\end{align}\)

    Beispiel

    \(Z=10 \text{ }€\) und \(p=1\text{ }\%\)

    Das Kapital errechnet sich aus:

    \(\begin{align} K=\frac{10 \text{ }€}{1 \text{ }\%}=\frac{10 \text{ }€} {\frac{1}{100}}=1000\text{ }€ \end{align}\)

    Beispiel

    \(K=500 \text{ }€\) und \(Z=4 \text{ }€\)

    Der Zinssatz errechnet sich aus:

    \(\begin{align} p=\frac{4 \text{ }€}{500 \text{ }€}=\frac{1}{125}=0{,}008=0{,}8\text{ }\% \end{align}\)

    Beispiel

    \(K=130 \text{ }€\) und \(p=1{,}2\text{ }\%\)

    Die Zinsen errechnen sich aus:

    \(\begin{align} Z= 130 \text{ }€ \cdot 1{,}2 \text{ }\%=130 \text{ }€ \cdot 0{,}012=1{,}56 \text{ }€ \end{align}\)

     

     

  • Wie berechnet man Jahreszinsen, Monatszinsen und Tageszinsen?

    Den Jahreszins für ein Jahr errechnest du mit der normalen Gleichung für das Kapital, wie du sie in den oberen Abschnitten kennengelernt hast.

    \(\begin{align} Z=K \cdot p \end{align}\)

    Diesen Jahreszins kannst du nun auf mehrere Jahre, Monate oder Tage umrechnen.

    Wie berechnet man Tageszinsen?

    Wenn du dein Geld für einige Tage anlegst bzw. dir leihst und wissen willst, wie viele Zinsen dazukommen, multiplizierst du zu deiner normalen Gleichung für das Kapital die Anzahl der Tage im Verhältnis zu einem Jahr. Das heißt, du multiplizierst die Anzahl der Tage, die du das Geld anlegst bzw. leihst (\(t\)), im Verhältnis zu der Anzahl der Tage, die es innerhalb eines Jahres im Bankwesen gibt (\(360\)).

    \(\begin{align} Z=K \cdot p \cdot \frac{t}{360} \end{align}\)

    Beispiel

    \(K=450 \text{ }€\) und \(p=1{,}5\text{ }\%\)

    Die Zinsen nach \(32\) Tagen errechnen sich aus:

    \(\begin{align} Z= 450 \text{ }€ \cdot 1{,}5 \text{ }\% \cdot \frac{32}{360}=450 \text{ }€ \cdot 0{,}015 \cdot \frac{32}{360}=0{,}6 \text{ }€ \end{align}\)

    Wie berechnet man Monatszinsen?

    Wenn du dein Geld für einige Monate anlegst und wissen willst, wie viele Zinsen du bekommst, multiplizierst du zu deiner normalen Gleichung für das Kapital die Anzahl der Monate im Verhältnis zu einem Jahr. Das heißt, du multiplizierst die Anzahl der Monate, die du das Geld anlegst (\(m\)), im Verhältnis zu der Anzahl der Monate, die es innerhalb eines Jahres gibt (\(12\)).

    \(\begin{align} Z=K \cdot p \cdot \frac{m}{12} \end{align}\)

    Beispiel

    \(K=450 \text{ }€\) und \(p=1{,}5\text{ }\%\)

    Die Zinsen nach \(7\) Monaten errechnen sich aus:

    \(\begin{align} Z= 450 \text{ }€ \cdot 1{,}5 \text{ }\% \cdot \frac{7}{12}=450 \text{ }€ \cdot 0{,}015 \cdot \frac{7}{12} \approx 3{,}94 \text{ }€ \end{align}\)

  • Wie berechnet man Zinsen mit exponentiellem Wachstum?

    Wenn du mit exponentiellen Wachstum Zinsen berechnen möchtest, dann berechnest du Zinsen auf das bereits verzinste Kapital. Du ziehst also nach einem Jahr nicht die Zinsen vom Startkapital ab, sondern rechnest sie zum neuen Kapital hinzu. Dafür benötigst du den sogenannten Zinseszins.

    Wie berechnet man den Zinseszins?

    Wenn du dein Geld für mehrere Jahre (\(n\)) anlegst und wissen willst, wie viel Geld sich sich in der Zeit angesammelt hat (Endkapital), dann musst du für jedes Jahr ein neues Startkapital festlegen. Dieses neue Startkapital (\(K_{1}\), \(K_{2}\), ...) eines jeden Jahres wird mit dem gleichen Zinssatz angelegt wie das Anfangskapital \(K_{0}\). Du addierst sie und erhältst das Endkapital \(K_{n}\) nach \(n\) Jahren.

    \(\begin{align} K_{n}=K_{0}+K_{1}+...+K_{n-1} \end{align}\)

    Das Kapital nach einem Jahr errechnest du aus dem Startkapital plus den Zinsen (\(Z_{1}\), \(Z_{2}\), ...), die innerhalb des Jahres entstehen. Du erhältst die Gleichung:

    \(\begin{align} K_{1}&=K_{0}+Z_{0}=K_{0}+K_{0}\cdot p = K_{0}\cdot (1+p) \\ K_{2}&=K_{1}+Z_{1}=K_{0}\cdot (1+p) +K_{1}\cdot p=K_{0}\cdot (1+p) +K_{0}\cdot (1+p) \cdot p =[K_{0}\cdot(1+p)]\cdot(1+p) =K_{0}\cdot (1+p)^2\\ & \,\,\,\vdots{}\\ K_{n}&=K_{0}\cdot(1+p)^n \end{align}\)

    Beispiel

    \(K_{0}=450 \text{ }€\) und \(p=1{,}5\text{ }\%\)
    Nach \(18\) Jahren beträgt das Endkapital:

    \(\begin{align} K_{18}= 450 \text{ }€ \cdot (1+1{,}5 \text{ }\% )^{18}=450 \text{ }€ \cdot (1+0{,}015)^{18} \approx 588{,}30 \text{ }€ \end{align}\)