Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum (einfach)

Aufgabe:

Kreuze die passende Lösung an.

Neben dem linearen Wachstum kommt in der Natur häufig eine weitere Form des Wachstums vor. Welche ist dies?

unstetiges Wachstum
.
sprunghaftes Wachstum
.
exponentielles Wachstum
.
Verdopplungswachstum
.

Aufgabe:

Ziehe die Begriffe in die passenden Lücken.

Mit Hilfe einer

kann exponentielles

mathematisch dargestellt werden. Eine derartige Gleichung könnte wie folgt aussehen:

$F(t)\,=\,F(0)\,\cdot\,a^{t}$

$F(t)$ beschreibt dabei den

nach einer bestimmten Zeit, mit

$F(0)$ wird der sogenannte

beschrieben, also der Bestand zum Zeitpunkt 0, und

$a$ ist die

. Die Größe

$t$ ist die Variable der Funktion, und da sie im

steht, handelt es sich um eine Exponentialfunktion.

Wachstumsrate

Anfangswert

Exponentialgleichung

Wachstum

Exponenten

Bestand

Exponentielles Wachstum (mittel)

Aufgabe:

Vervollständige den nachstehenden Satz, indem du das richtige Ende ankreuzt.

Bei exponentiellem Wachstum steigt die Funktion viel ... als bei linearem Wachstum.

gleichmäßiger
.
langsamer
.
schneller
.

Aufgabe:

Bestimme den Anfangswert der Exponentialgleichung aus der Grafik.

$a(0)\,=\,$

Aufgabe:

Berechne den Kapitalertrag der folgenden Zinssatzrechnung und markiere das passende Ergebnis.

Paul hat auf seinem Konto einen Betrag von 2000 Euro angespart. Die Bank gewährt ihm darauf einen Zinsatz von

$4\,\%$ . Wie groß ist das Kapital auf dem Konto nach zehn Jahren, vorausgesetzt, Paul hebt kein Geld ab?

Tipp: Runde auf eine Nachkommastelle

$B(10)\,=\,\,.\,.\,.\,\,\text{Euro}$

Correct!

Incorrect!

Missed!

Aufgabe:

Bestimme grafisch den Funktionswert der Exponentialgleichung

$f(x)\,=\,5{,}5\,\cdot\,1{,}4919^{x}$ für

$x\,=\,10$ und kreuze das nächstliegende Ergebnis an.

$f(x)\,=\,300$
.
$f(x)\,=\,350$
.
$f(x)\,=\,250$
.
$f(x)\,=\,400$
.

Exponentielles Wachstum (schwer)

Aufgabe:

Beurteile, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Der Funktionswert der Exponentialfunktion

$g(x)\,=\,3005\,\cdot\,1{,}05^x$ bei

$x\,=\,4$ ist

$f(4)\,=\,3660{,}6$ (gerundet).

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Ermittle mithilfe der Zeichnung die Wachstumsrate

$a$ der Exponentialgleichung

$f(t)\,=\,200\,\cdot\,a^t$ .

Tipp: Der Funktionswert für

$x\,=\,1$ erleichtert die Aufgabe erheblich.

$a\,=\,$

Aufgabe:

Bestimme den ungefähren ganzzahligen Zeitpunkt, zu dem der See mit Algen bedeckt ist.

Ein Bagger soll einen Badesee vergrößern, der anfangs

$800\,\text{m}^2$ groß ist. Er vergrößert den See pro Woche um

$550\,\text{m}^2$ . Auf dem See wächst eine Algenkolonie, die anfangs

$1\,\text{m}^2$ groß ist. Sie verdoppelt jede Woche ihre Fläche.

Tipp: Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich und versuche anschließend, durch Ausprobieren zum Ergebnis zu gelangen.

$t\,=\,$ Wochen

Aufgabe:

Löse die folgende Aufgabe und kreuze das passende Ergebnis an.

Die exponentielle Abnahme der Schaumkrone eines frisch eingeschenkten Weißbiers folgt der Gestzmäßigkeit:

$f(t)\,=\,f(0)\,\cdot\,e^{\,-k\,\cdot\,t}\\e\,=\,2{,}718$

Die Halbwertszeit, also die Zeit bis die Hälfte des Bierschaums verschwunden ist, ist ebenfalls durch eine Gleichung definiert und beträgt:

$T_{1/2}\,=\,\frac{ln(2)}{k}\,=\,5\,\text{min}\\ln(2)\,=\,0{,}693$

Unmittelbar nach dem Ausschenken hat die Schaumkrone eine Höhe von

$3\,\text{cm}$ .
Nach wie viel Minuten ist diese Höhe auf

$2\,\text{mm}$ geschrumpft?

Tipp: Logarithmusgesetz zur Multiplikation eines Logarithus mit einer natürlichen Zahl:

$n\,\cdot\,log(x)\,=\,log(n^x)$ .

Runde bei deinen Zwischenergebnissen auf drei Nachkommastellen.

$t\,=\,19{,}482\,\text{min}$
.
$t\,=\,19{,}355\,\text{min}$
.
$t\,=\,19{,}545\,\text{min}$
.

Wie du exponentielles Wachstum erkennst und beschreibst

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Exponentielles Wachstum erkennen und beschreiben

Exponentielles Wachstum erkennen und beschreiben (einfach)

Aufgabe:

Wähle die passende Antwortmöglichkeit aus.

Eine Exponentialfunktion hat immer folgende Form:

$f(x)\,=\,a^x\,\cdot\,b^x$
.
$f(x)\,=\,a\,+\,b^x$
.
$f(x)\,=\,a^2\,\cdot\,b^2$
.
$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$
.

Aufgabe:

Vervollständige den Wertebereich von

$b$ .

Exponentielles Wachstum:

$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$ mit

$b\,>$

Exponentielle Abnahme:

$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$ mit

$<\,b\,<$

Aufgabe:

Beurteile, ob folgende Aussage wahr ist.

Der Wert

$b$ einer Exponentialfunktion

$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$ beträgt

$b\,=\,0{,}85$ . Folglich handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.

Wahr

Falsch

Exponentielles Wachstum erkennen und beschreiben (mittel)

Aufgabe:

Berechne folgende Aufgabe und trage das Ergebnis in die vorgesehene Lücke ein.

Das Wachstum einer Bakterienkultur lässt sich vereinfacht durch die Funktion

$f(t)\,=\,1000\,\cdot\,2^t$ darstellen.
Berechne die Anzahl der Bakterien nach drei Stunden.

Tipp: Versuche es ruhig mal ohne den Taschenrechner.

$f(3)\,=\,$ Bakterien

Aufgabe:

Vervollständige die unten stehende Tabelle.

Die beiden Exponentialfunktionen haben die Form

$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$ und

$g(x)\,=\,e\,\cdot\,f^x$ .

x	0	1	2
$f(x)$	550		4950
$g(x)$	325		731,25

Aufgabe:

Entscheide, welche Werte für

$a$ und

$b$ zutreffen, und kreuze dazu jeweils einen Wert für

$a$ und einen für

$b$ an.

Eine Exponentialfunktion der Form

$g(t)\,=\,a\,\cdot\,b^t$ hat bei

$t\,=\,2$ einen Funktionswert von

$g(2)\,=\,13{.}500$ .

$b\,=\,50$
.
$b\,=\,2$
.
$a\,=\,6{,}2$
.
$a\,=\,3380$
.
$a\,=\,5{,}4$
.
$b\,=\,65$
.

Aufgabe:

Im folgenden Text haben sich ein paar Fehler eingeschlichen. Markiere die fehlerhaften Wörter.

Correct!

Incorrect!

Missed!

Exponentielles Wachstum erkennen und beschreiben (schwer)

Aufgabe:

Ermittle die Exponentialfunktion

$a(t)\,=\,x\,\cdot\,y^t$ .

Tipp: Runde deine Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

$a(t)\,=\,4\,\cdot\,5^t$
.
$a(t)\,=\,2\,\cdot\,4^t$
.
$a(t)\,=\,3\,\cdot\,5{,}6^t$
.
$a(t)\,=\,3\,\cdot\,3{,}6^t$
.

Aufgabe:

Berechne den gefragten Wert und trage ihn in die Lücke ein.

Der Wert

$b$ einer Exponentialfunktion

$h(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$ beträgt

$b\,=\,\sqrt{\frac{10{.}820{,}35}{460}}\,=\,4{,}85$ . Ermittle den Funktionswert an der Stelle

$x\,=\,4$ .

Tipp: Überlege dir, wie die Exponentialfunktion aussieht, wenn die Formel nach

$b$ umgestellt wird.

$h(4)\,=\,$

Aufgabe:

Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Um eine Exponentialfunktion in allgemeiner Form vollständig bestimmen zu können, reicht dir der Funktionswert bei

$x\,=\,0$ aus.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Ordne die Funktionsgleichungen den Graphen zu.

Die Graphen von vier Exponentialfunktionen. Graph 1 und 3 steigen, 2 und 4 fallen. Die Schnittpunkte mit der y-Achse von 1, 2, 3 und 4 sind 5, 20, 5 und 30. Graph 1 steigt am stärksten, Graph 4 fällt am stärksten.

$a(x)\,=\,5\,\cdot\,12^x\,\rightarrow\,$

$b(x)\,=\,30\,\cdot\,0{,}2^x\,\rightarrow\,$

$c(x)\,=\,20\,\cdot\,0{,}4^x\,\rightarrow\,$

$d(x)\,=\,5\,\cdot\,4^x\,\rightarrow\,$

2

3

4

1

Aufgabe:

Berechne die Werte

$a$ und

$b$ und trage sie in die Lücken ein.

Von einer Exponentialfunktion

$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$ ist lediglich der Wert

$b^2\,=\,\frac{3{.}750}{1{.}465}\,\approx\,2{,}56$ bekannt.

Tipp: Runde deine Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt

$P(2|3750)$ .

$f(x)\,=\,$

$\,\cdot\,$

$^x$

Aufgabe:

Vervollständige die unten stehende Tabelle mit der zugehörigen Funktion

$f(t)\,=\,a\,\cdot\,b^t$ .

Zeit $t$	0	1	2
$f(t)$		500	2500

Wie du Wachstumsvorgänge grafisch darstellst

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Wachstumsvorgänge grafisch darstellen

Wachstumsvorgänge grafisch darstellen (einfach)

Aufgabe:

Bring die Handlungsschritte in die richtige Reihenfolge.

Wie erstellst du Graphen zu Exponentialfunktionen und wie vergleichst du sie? Du folgst folgender Schrittfolge:

Funktionsgleichungen aufstellen

Wertetabelle erstellen

Graphen zeichnen

1.

2.

3.

Aufgabe:

Beurteile, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Eine Kapitalanlage soll durch eine Exponentialfunktion

$f(x)\,=\,c\,\cdot\,a^x$ beschrieben werden.
Der Faktor

$c$ beschreibt dabei das Startkapital und

$a$ den Wachstumsfaktor.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Vervollständige die Gleichung in der Form

$f(x)\,=\,c\,\cdot\,a^x$ .

Die „Sparbank“ bietet Frau Huber einen Zinssatz von 4 % auf ihr Kapital von 10.000 Euro an. Frau Huber zögert nicht lang und nimmt das Angebot an.
Mathematisch sieht diese Kapitalanlage wie folgt aus (die Variable

$x$ soll die Anlagezeit in Jahren darstellen):

$f(x)\,=\,$

$\,\cdot\,$

$^x$

Wachstumsvorgänge grafisch darstellen (mittel)

Aufgabe:

Hilf Fritz, seine Aufgabe zu lösen, und markiere den korrekten Wachstumsfaktor.

Für eine Schulaufgabe soll Fritz eine Exponentialfunktion vervollständigen. Die Form der Funktion sowie der Startwert bereiten ihm keine Probleme, lediglich beim Wachstumsfaktor ist er sich nicht ganz sicher. Die in seiner Aufgabe besagte Bank verspricht einen Zins von $4{,}3\ \%$ .

$f(x)\,=\,40{.}000\,\cdot\,\,...\,\,^x$

$1{,}043$
.
$14{,}3$
.
$0{,}043$
.
$1{,}43$
.

Aufgabe:

Beurteile, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die „Schnäppchenbank“ bietet ihren Kunden einen Zinssatz von

$2{,}3\ \%$ auf Kapitalanlagen von

$15{.}000$ Euro über eine Laufzeit von 20 Jahren an.
Die Exponentialfunktion zur Berechnung des Ertrags bzw. Gewinns lautet also:

$f(x)\,=\,15{.}000\,\cdot\,2{,}5^x$

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Ziehe die Koordinaten zu den Exponentialfunktionen, in denen sie enthalten sind.

$f(x)\,=\,37{.}000\,\cdot\,2{,}5^x\,\rightarrow\,$

$g(t)\,=\,1237\,\cdot\,7^t\,\rightarrow\,$

$h(l)\,=\,4389\,\cdot\,9^l\,\rightarrow\,$

P(0/37.000)

P(2/355.509)

P(3/424.291)

	1.Instanz (Freunde)	2.Instanz (Freunde der Freunde)	3.Instanz (Freunde der Freundesfreunde)
f(x)

Wachstumsvorgänge grafisch darstellen (schwer)

Aufgabe:

Markiere die fehlerhaften Wörter im folgenden Text.

Richtig!

Falsch!

Vergessen!

Aufgabe:

Ermittle den zur Exponentialfunktion passenden Graphen und kreuze diesen an.

$g(x)\,=\,15\,\cdot\,2^x$

.
.
.

Aufgabe:

Bewerte, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Eine exponentielle Wachstumsfunktion der Form

$f(x)\,=\,c\,\cdot\,a^x$ schneidet niemals die x-Achse.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Vervollständige die Exponentialfunktion zur Berechnung der Dicke des Papiers und trag dein errechnetes Ergebnis in die vorgesehene Lücke ein.

Ein handelsübliches Druckerpapier mit der Dicke

$d\,=\,0{,}1\,\text{mm}$ soll gefaltet werden. Bei jedem Faltvorgang verdoppelt sich die Dicke des Papiers. Wie oft kann das Papier gefaltet werden, bevor es eine Dicke von

$d_{final}\,=\,13\,\text{mm}$ überschreitet?

$f(x)\,=\,$

$\,\cdot\,$

$\,^x$

Anzahl der Faltungen:

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum (einfach)

Aufgabe:

Beurteile, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Der Graph einer jeden Exponentialfunktion beschreibt eine Gerade.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Vervollständige den Text mit den vorgegebenen Textbausteinen.

Die Gleichung

$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$ beschreibt eine

. Im Bereich

$0\,<\,a\,<\,1$ ist diese Funktion streng monoton

und für

$a\,>\,1$ streng monoton

.
Da

$b^0\,=\,1$ , hat der zugehörige Graph dieser Funktion immer den

$\text{P}(0/a)$ mit der

-Achse. Die

-Achse schneidet der Graph hingegen nie.

x

steigend

Schnittpunkt

y

fallend

Exponentialfunktion

Aufgabe:

Ordne den Bestandteilen der Exponentialfunktion die passenden Begriffe zu und markiere diese.

$f(x)\,=\,a\,\cdot\,b^x$

Correct!

Incorrect!

Missed!

Exponentielles Wachstum (mittel)

Aufgabe:

Überlege dir, ob die nachfolgende Aussage wahr oder falsch ist.

Exponentielles Wachstum ist eine vollkommen unnatürliche Form des Wachstums und ist in unserer Welt nie anzutreffen.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Ordne der Funktion den passenden Graphen zu.

$i(t)\,=\,35{,}5\,\cdot\,1{,}2^t$

.
.
.
.

Aufgabe:

Stell die Exponentialfunktion zu folgendem Graphen auf.

$f(x)\,=\,$

$\,\cdot\,$

$\,^x$

Exponentielles Wachstum (schwer)

Aufgabe:

Beurteile, ob folgende Gleichung zum Graphen passt.

$f(x)\,=\,41{,}6\,\cdot\,0{,}52^x$

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Bearbeite die folgende Textaufgabe und kreuze dein Ergebnis an.

Die Anfangstemperatur in einem Gefäß mit Wasser von $0^\circ\text{C}$ nähert sich langsam der Umgebungstemperatur von $16^\circ\text{C}$ an. Die Grafik stellt die abnehmende DIfferenz $y$ zwischen der Umgebungstemperatur und der Temperatur des Wassers dar.

Bestimme aus der Grafik eine geeignete Gleichung für die Temperaturdifferenz in Abhängigkeit von der Zeit x (gemessen in

$h$ ).
Welche Temperatur hat das Wasser theoretisch nach sieben Stunden?

$f(x)\,=\,16\,\cdot\,0{,}5^x$

Wassertemperatur: $15{,}875\ ^\circ\text{C}$
.
$f(x)\,=\,18\,\cdot\,0{,}2^x$

Wassertemperatur: $15{,}875\ ^\circ\text{C}$
.
$f(x)\,=\,16\,\cdot\,0{,}4^x$

Wassertemperatur: $15{,}89\ ^\circ\text{C}$
.
$f(x)\,=\,16\,\cdot\,0{,}5^x$

Wassertemperatur: $17{,}9\ ^\circ\text{C}$
.

Aufgabe:

Löse die folgende Aufgabe und trag deine Ergebnisse in die vorgesehenen Lücken ein. (Runde dein Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.)

Herr Johann nimmt beim Kreditinstitut Geldgier ein Darlehen von

$20{.}000$ Euro auf. Das Institut verlangt

$1\ \%$ Zinsen pro Monat. Diese Zinsen weden monatlich zum Darlehen dazugerechnet. Welchen Betrag muss Herr Johann nach drei Jahren zurückzahlen und wie hoch ist der Zinssatz pro Jahr?

Betrag nach drei Jahren: Euro

Jahreszinssatz:

$\%$

	0	1	2	3	4	5	6
Bank 1	30.000			36.751			-
Bank 2	25.000		30.250

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Was ist exponentielles Wachstum?

Exponentielles Wachstum

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