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Lexikon Mathe

Zentraler Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung besagt, dass die Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen Xi für große n annähernd normalverteilt ist:

Für \(X =\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i\) ist \(\displaystyle P(X \le x) \approx \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)\)

mit dem Erwartungswert \(E(X) = \mu = \displaystyle \sum_{i=1}^n \mu_i\) und der Varianz \(Var(X) = \sigma^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\).

Insbesondere ist auch der Mittelwert \(\bar X = \displaystyle \frac 1 n \sum_{i=1}^n \mu_i\) der Zufallsvariablen normalverteilt. Daher kann man davon ausgehen, dass bei einer großen Zahl von Messungen der Mittelwert der Messergebnisse normalverteilt ist.

Ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes für den Fall, dass die Xi binomialverteilt sind, ist die Regel bzw. der Satz von Moivre-Laplace.

 

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