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Lexikon Mathe

Tangente und Normale an Funktionsgraphen

Eine Gerade ist eine Tangente an einen Funktionsgraphen Gf im Punkt P(x0|f(x0)), wenn sie dort dieselbe Steigung wie die Funktion f hat. Die Tangente am Punkt P(x0|f(x0)) hat daher die Gleichung (vorausgesetzt, dass f differenzierbar ist):

\(t_{x_0} \!: \ y = f'(x_0)\cdot x+b\)

Da P auf der Tangente liegt, kann man dessen Koordinaten in die Geradengleichung einsetzen und erhält die Gleichung

\(t_{x_0} \!: \ y = f'(x_0)\cdot (x-x_0) +f(x_0)\)

Die Tangente hat also den y-Achsenabschnitt \(b = f(x_0) -x_0 \cdot f'(x_0)\).

 

Eine Normale an den Funktionsgraphen ist dadurch definiert, dass sie senkrecht auf der Tangente in einem Punkt P(x0|f(x0)) steht und außerdem die Tangente gerade in P schneidet. Normale und Tangente stehen dann senkrecht aufeinander, wenn für ihre Steigungen gilt:

\(m_\text n\!: \ y = -\dfrac{1}{m_\text t}= - \dfrac{1}{f'(x_0)} \ \ (f' ( x_0 ) \neq 0)\)

Daraus und durch Einsetzen von P(x0|f(x0)) in die Gleichung erhält man dann die Normalengleichung

\(n_{x_0} \!: \ y = \dfrac 1 {f'(x_0)} \cdot (x-x_0) +f(x_0)\)

 

Beispiel:
\(f : x \mapsto x^2\),   P(1,5|2,25)
Mit \(f' (x) = 2x\) gilt: \(f' (1,5) = 3.\)

Gleichung der Tangente:
\(t\!: \ y = 3 \cdot (x - 1,5) + 2,25\)
\(t\!: \ y = 3x - 2,25\)

Gleichung der Normale:
\(n\!: \ y = - \dfrac{1}{3} \cdot (x - 1,5) + 2,25\)
\(n\!: \ y \!: \ y = - \dfrac{1}{3} x + 2,75\)

Tangente und Normale an Funktionsgraphen - Abbildung 1

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