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Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate1 aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall \( [0;20]\) durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung
\(f(t)=(1020-40t) \cdot e^{0,1 \cdot t};\quad t \in \mathbb R\)
modelliert werden. Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \( f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \( t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die Modellierung zu betrachtenden Intervall dargestellt.

 

 

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums. Die passenden Musterlösungen befinden sich unter den jeweiligen Aufgaben.

  • Aufgabe 1

    29 Minuten 11 Punkte

    a)

    1. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009, zu dem die Förderrate maximal ist, und berechnen Sie den Maximalwert.
      [Zur Kontrolle: \(f'(t)=(62-4t) \cdot e^{0,1\cdot t}\)]  

  • Aufgabe 2

    44 Minuten 17 Punkte

    b)

    Die Menge des Erdöls, das seit dem Beginn der Ölförderung Anfang 1990 bis zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) des betrachteten Zeitraums aus dem Ölfeld gefördert wurde, wird durch eine Funktion \(M:t \mapsto M(t)\) mit \(0 \leq t \leq 20\) beschrieben.

    1. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Funktion \(M\).
      [Zur Kontrolle: Eine Stammfunktion der Funktion \( f\) ist die Funktion \(F\) mit der Gleichung \(F(t)=(14200 - 400t) \cdot e^{0,1 \cdot t}\).]
    2. Berechnen Sie die gesamte Fördermenge aus dem Ölfeld von Anfang 1990 bis Ende 2009.
    3. Ermitteln Sie die Einnahmen aus dem Verkauf des im Jahr 2007 geförderten Erdöls, wenn man von einem Verkaufspreis von 56 Euro pro Barrel im Jahr 2007 ausgeht. 
      1 Barrel Erdöl (ca. \(159\text{ Liter}\)) wiegt ca. \(137\ \mathrm{kg}\).
  • Aufgabe 3

    26 Minuten 10 Punkte

    c)

    Seit Anfang des Jahres 2010 schwächt sich der Rückgang der Förderrate ab. Diese soll im Intervall  daher durch eine Funktion  mit der Gleichung

    modelliert werden. Dabei wird wieder  als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und  als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt  entspricht dem Beginn des Jahres 2010.

    Die Abbildung 2 stellt die Graphen der Funktionen  und  in den jeweils für die Modellierung zu betrachtenden Intervallen dar. 

    1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms von , warum die Funktion  die Förderrate nicht über einen längeren Zeitraum sinnvoll beschreiben könnte.
    2. Der Betreiber kalkuliert, dass die Ölförderung für ihn nur wirtschaftlich ist, wenn innerhalb eines Kalenderjahres mindestens 600.000 Tonnen Öl gefördert werden. Bestimmen Sie das letzte Kalenderjahr, für das die Ölförderung wirtschaftlich sein wird.
      [Zur Kontrolle: Die Fördermenge im Intervall , lässt sich durch  ermitteln.]

     

  • Aufgabe 4

    21 Minuten 8 Punkte

    d)

    Durch die Funktion  mit der Gleichung 

    wird die Förderrate von Anfang 1990 bis Ende 2029 beschrieben. Folgende Angaben dürfen ohne Nachweis verwendet werden:

     

    1. Begründen Sie, dass die Funktion  an der Stelle  differenzierbar ist, und entscheiden Sie, ob  dort zweimal differenzierbar ist. 
    2. Begründen Sie, dass  an der Stelle  ein lokales Minimum besitzt. 
  • Aufgabe 5

    1 Minute
     

    1 Im Folgenden wird vereinfachend nur der Begriff der Förderrate verwendet, wobei durchgehend die momentane Förderrate gemeint und zu betrachten ist.

     

    Die Veröffentlichung der Originalprüfung erfolgt mit freundlicher Genehmigung des jeweiligen Kultusministeriums.