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Berechnungen am Kreis, Variante (1)


Aufgabe 1

Bestimme die fehlenden Größen für die Kreise \(k\).

\(r\): Radius des Kreises \(k\)     \(U\): Umfang des Kreises \(k\)     \(A\): Flächeninhalt des Kreises \(k\)

\(r\) 14 mm    
\(U\)   \(30\pi\) m  
\(A\)     36 cm²

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Umfangsformel \(U=2\pi r\) und die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises \(A=\pi r^2\) anwenden. Setze die gegebene Größe in die jeweilige Formel ein und bestimme die fehlende Größe.

Schritt 2: Größen bestimmen

1. Spalte

\(U=2\pi r=2 \pi \cdot \text{14 mm}=\text{87,96 mm}\)          \(A=\pi r^2=\pi \cdot (\text{14 mm})^2=\text{615,75 mm}^2\)

2. Spalte

\(30\pi \text{ m}=2\pi r \Leftrightarrow r=\frac{30 \pi}{2\pi} =\text{15 m}\)          \(A=\pi r^2=\pi \cdot (\text{15 m})^2=\text{706,86 m}^2\)

3. Spalte

\(\text{36 cm}^2=\pi r^2\Leftrightarrow r^2= \frac{\text{36 cm}^2}{\pi}=11,46\text{ cm}^2\Rightarrow r=\text{3,39 cm}\)

\(U=2\pi r=2 \pi \cdot \text{3,39 cm}=\text{21,27 cm}\)

Schritt 3: Tabelle füllen

\(r\) 14 mm 15 m 3,39 cm
\(U\) 87,96 mm \(30\pi\) m 21,27 cm
\(A\) 615,75 mm² 706,86 m² 36 cm²
  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt die Maße einer Tischplatte.

  1. Berechne die Tischfläche.
  2. Beim Eindecken für eine Festtafel rechnet man etwa \(75\ \text{cm}\) Platz pro Person. Für wie viele Gäste kann an diesem Tisch eingedeckt werden?

Berechnungen am Kreis, Variante (1) - Abbildung 1

Aufgabe 2a.

Berechne die Tischfläche.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Fläche setzt sich zusammen aus einem Rechteck mit der Länge \(a=2{,}25\,\text{m}\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d=3{,}75\,\text{m}-2{,}25\,\text{m}=1{,}5\,\text{m}\), also dem Radius \(r=0{,}5\cdot 1{,}5\,\text{m}=0{,}75\,\text{m}\). Der Durchmesser des Kreises ist gleichzeitig die Höhe des Rechtecks.

Schritt 2: Tischfläche berechnen

\(\begin{align}A =\pi \cdot (\text{0,75 m})^2 +\text{2,25 m} \cdot 1{,}5 = 5{,}14\,\text{m}^2 \end{align}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Tisch hat einen Flächeninhalt von 5,14 m².

Aufgabe 2b.

Beim Eindecken für eine Festtafel rechnet man etwa \(75\ \text{cm}\) Platz pro Person. Für wie viele Gäste kann an diesem Tisch eingedeckt werden?

Schritt 1: Vorüberlegung

Wenn du ermitteln willst, wie viele Personen am Tisch Platz haben, musst du zunächst den Tischumfang berechnen. Er setzt sich zusammen aus zweimal der Länge des Rechtecks und dem Umfang des Kreises (bzw. der zwei Halbkreise).

Schritt 2: Umfang bestimmen

\(\begin{align}U = (2 \cdot 2{,}25\text{ m}) + (2 \cdot \pi \cdot 0{,}75 \text{ m}) = 7{,}5 \text{ m} + 4{,}712 \text{ m} = 9{,}221 \text { m} \end{align}\)

Schritt 3: Personenanzahl berechnen

\(\begin{align}x = 9{,}212 : 0{,}75 \approx 12{,}283 \end{align}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Man kann diesen Tisch für 12 Gäste decken.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Berechne den Kreisbogen \(b\) und den Flächeninhalt \(A\) des Kreisausschnitts mit dem Mittelpunktwinkel \(\alpha=20^°\) und dem Kreisradius \(r= 6\text{ cm}\).

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Angaben aus der Aufgabenstellung in die Flächeninhaltsformel \(A_{Kreisausschnitt}=\frac{\pi r^2}{360^°} \cdot \alpha\) und die Formel für den Kreisbogen \(b=\frac{\pi r}{180^°} \cdot \alpha\) einsetzen.

Schritt 2: Flächeninhalt bestimmen

\(A_{Kreisausschnitt}=\frac{\pi (6\text{ cm})^2}{360^°} \cdot 20^° =6,28 \text{ cm}^2\)

Schritt 3: Kreisbogen bestimmen

\(b=\frac{\pi (\text{6 cm})}{180^°} \cdot 20^°=2,09 \text{ cm}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Kreisausschnitt hat einen Flächeninhalt von 6,28 cm² und ein Bogenmaß von 2,09 cm.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Der Kreis \(k_2\) hat einen doppelt so großen Flächeninhalt wie der Kreis \(k_1\). Der Radius von \(k_1\) ist 30 cm lang. Wie lang ist der Radius von \(k_2\)?

Schritt 1: Vorüberlegung

Den Flächeninhalt eines Kreises berechnest du mit der Flächeninhaltsformel \(A=\pi r^2\). Weiter gilt: \(A_2=2\cdot A_1\).

Schritt 2: Radius bestimmen

\(A_2=2\cdot A_1 \Rightarrow\)\(\pi r_2^2=2\cdot \pi r_1^2 \Leftrightarrow r_2^2=2\cdot (\text{30 cm})^2 \Leftrightarrow r_2^2=\text{1800 cm²} \Rightarrow r_2=\text{42,43 cm}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Radius von \(k_2\) ist 42,43 cm lang.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Wie groß muss der Winkel \(\alpha \) sein, damit der dazugehörige Kreissektor den gleichen Flächeninhalt hat wie das Quadrat mit der Kantenlänge \( r\)?

Berechnungen am Kreis, Variante (1) - Abbildung 2

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Formel für die Berechnung eines Kreissektors lautet: \( A_{Sektor}=\frac{\alpha}{360^°}\cdot r^2\pi\). Den Flächeninhalt des Quadrats bestimmst du mit \(A_{Quadrat}=r^2\). Du musst die Formeln gleichsetzen und so den Winkel \(\alpha\) berechnen. Forme das Bogenmaß noch in eine Winkelgröße um.

Schritt 2: Winkel \(\alpha\) bestimmen

\(\begin{align} A_{\text{Sektor}}&=\frac{\alpha}{360^°}\cdot r^2\pi && \mathrm{| ~Formel \: f\ddot{u}r \: die \: Berechnung \: eines \: Kreissektors} \\ A_{\text{Quadrat}}&=r^2 && \mathrm{|~ Fl\ddot{a}cheninhalt \: des \: Quadrats \: mit \: der \: Kantenl\ddot{a}nge \: }r \\ \frac{\alpha}{360^°} \cdot r^2\pi &= r^2 && |:r^2 \\ \frac{\alpha}{360^°}\cdot \pi&=1 && | \cdot \frac{360^°}{\pi} \\ \alpha&=\frac{360^°}{\pi} \\ \alpha &\approx 114{,}59^° \end{align}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Winkel \(\alpha\) müsste etwa 114,59° groß sein.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Ein Kreisring hat einen Flächeninhalt von 600 cm². Der Radius des inneren Kreises beträgt 40 cm. Welche Dicke hat der Kreisring?

Berechnungen am Kreis, Variante (1) - Abbildung 3

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Dicke des Kreisringes ist \(x\). Somit ist der Radius des äußeren Kreises \(r+x\). Den Flächeninhalt des Kreisringes berechnest du, indem du den Flächeninhalt des inneren Kreises von dem Flächeninhalt des äußeren Kreises subtrahierst: \(A_{Ring}=\pi(r+x)^2-\pi r^2\).

Schritt 2: Dicke des Kreisringes bestimmen

\(A_{Ring}=\pi(r+x)^2-\pi r^2\) \(\Rightarrow 600\text{ cm}^2=\pi(\text{40 cm}+x)^2-\pi (\text{40 cm})^2\)

\(\Rightarrow 600\text{ cm}^2=\pi(\text{1600 cm}^2+\text{80 cm}\cdot x+x^2)-\text{1600 cm}^2\pi\)

\(\Rightarrow 600\text{ cm}^2=\text{1600 cm}^2\pi+\text{80 cm}\cdot x\pi+x^2\pi-\text{1600 cm}^2\pi\)

\(\Rightarrow 0=\pi x^2+\text{80 cm}\cdot \pi x-\text{600 cm}^2\)

Rechne ohne Einheiten weiter.

\(\Rightarrow 0= x^2+80 x-191\)

Benutze die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

\(x_1=-40+42,32=2,32\)

\(x_1=-40-42,32=-82,32\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Kreisring hat eine Dicke von 2,32 cm.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6
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