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Berechnungen am Körper (2)


Aufgabe 1

Ein Prisma hat eine Höhe von 8 cm. Die Grundfläche besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen a = 7 cm, b = 11 cm.

  1. Skizziere das Schrägbild des Prismas und trage alle Längenangaben ein.
  2. Berechne das Volumen des Prismas.
  3. Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche.
  4. Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche.

Aufgabe 1a.

Skizziere das Schrägbild des Prismas und trage alle Längenangaben ein.

Schritt 1: Vorüberlegung

Achte bei der Skizze auf die Verkürzung derjenigen Kanten, die in die Tiefe gehen.

Schritt 2: Schrägbild skizzieren und Längen eintragen

Berechnungen am Körper (2) - Abbildung 1

Aufgabe 1b.

Berechne das Volumen des Prismas.

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Volumen eines Prismas berechnest du mit der Formel \(V_{Prisma}= A_{G} \cdot h\). Dabei ist \(A_{G}\) die Grundfläche des Prismas und \(h\) die Höhe des Prismas.

Da die Grundfläche ein Rechteck ist, musst du die Formel \(A_{Rechteck}= ab\) verwenden.

Schritt 2: Volumen bestimmen

\(V_{Prisma}= A_{G} \cdot h=(ab) \cdot h = (7\ \text{cm} \cdot 11\ \text{cm}) \cdot 8\ \text{cm} = 77\ \text{cm}^2 \cdot 8\ \text{cm}=616\ \text{cm}^3\)

Aufgabe 1c.

Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Mantelfläche eines Prismas berechnest du mit der Formel \(A_{Mantel}= U \cdot h\). Dabei ist \(U\) der Umfang der Grundfläche und \(h\) die Höhe des Prismas.

Schritt 2: Mantelfläche berechnen

\(A_{Mantel}= U \cdot h =(2 \cdot 7\ \text{cm}+ 2 \cdot 11\ \text{cm}) \cdot 8\ \text{cm}= 36\ \text{cm} \cdot 8\ \text{cm}= 288\ \text{cm}^2\)

Aufgabe 1d.

Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Mantelfläche und die Oberfläche unterscheiden sich nur geringfügig. Du musst zum Mantelflächeninhalt noch den Flächeninhalt der Grundfläche und den Flächeninhalt der Deckfläche des Prismas addieren.

Schritt 2: Oberfläche bestimmen

\(A_{Oberfläche}= A_{Mantel}+2 \cdot A_G = 288\ \text{cm}^2+2 \cdot 77\ \text{cm}^2=442\ \text{cm}^2\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  11 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

In vielen Städten stehen Litfaßsäulen als Werbefläche. Eine normale Litfaßsäule hat die Form eines Zylinders. Der Radius beträgt 60 cm und die Höhe 3,20 m. Die Kosten für das Bekleben einer Litfaßsäule betragen pro m² und Tag rund 2 €.

  1. Skizziere ein Netz von dem Zylinder und trage alle Längenangaben aus der Aufgabenstellung ein.
  2. Berechne die Kosten für die Werbung auf einer ganzen Litfaßsäule pro Woche.

Aufgabe 2a.

Skizziere ein Netz von dem Zylinder und trage alle Längenangaben aus der Aufgabenstellung ein.

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Netz eines Körpers ist die Darstellung des aufgeklappten Körpers als Fläche. Stell dir vor, du schneidest den Zylinder an geeigneten Kanten auf und legst ihn flach vor dich auf den Tisch. Das Netz ist nicht eindeutig, da man den Zylinder an verschiedenen Kanten aufschneiden kann.

Schritt 2: Skizze mit Längen

Berechnungen am Körper (2) - Abbildung 2

Aufgabe 2b.

Berechne die Kosten für die Werbung auf einer ganzen Litfaßsäule pro Woche.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Litfaßsäule wird nur auf ihrer Mantelfläche beklebt. Den Mantelflächeninhalt eines Zylinders kannst du mit der Formel \(A_{Mantel}= U \cdot h= 2\pi rh\) bestimmen. Dabei ist \(U\) der Umfang der Grundfläche und \(h\) die Höhe des Zylinders.

Schritt 2: Mantelfläche berechnen

\(A_{Mantel} = U \cdot h=2\pi r \cdot h=2\pi \cdot 0{,}6\ \text{m} \cdot 3{,}2\ \text{m}=12{,}06\ \text{m}^2\).

Schritt 3: Kosten berechnen

Pro m² und Tag rund 2 €: \(12{,}06 \cdot2\ €=24{,}13\ €\). Das macht dann pro Woche \(24{,}13\ € \cdot7=168{,}89\ €\).

Schritt 4: Antwortsatz

Die Kosten für die Werbung auf einer Litfaßsäule betragen 168,89 Euro pro Woche.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt eines modernen Tischtennisballes. Der Tischtennisball hat einen Durchmesser von d = 40 mm.

Schritt 1: Vorüberlegung

Ein Tischtennisball ist natürlich eine Kugel. Das Volumen einer Kugel kannst du mit der Formel \(V_{Kugel}= \frac{4}{3} \cdot \pi r^3\) bestimmen. Die Oberfläche einer Kugel kannst du mit der Formel \(A_{Oberfläche}= 4 \pi r^2\) bestimmen. Der Radius ist der halbe Durchmesser.

Schritt 2: Volumen bestimmen

\(V_{Kugel}= \frac{4}{3} \cdot \pi r^3= \frac{4}{3} \pi \cdot (20\ \text{mm})^3=33.510{,}32\ \text{mm}^3\)

Schritt 3: Oberfläche bestimmen

\(A_{Oberfläche}= 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot(20\ \text{mm})^2 = 5026{,}55\ \text{mm}^2\)

Schritt 4: Antwortsatz

Das Volumen eines Tischtennisballes beträgt 33.510,32 mm³, der Oberflächeninhalt 5026,55 mm².

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Ein kegelförmiger Sandhaufen mit einer Höhe von 3 m und einem Umfang von ca. 25 m soll abgefahren werden. 1000 cm³ Sand haben ungefähr eine Masse von 1,5 kg. Es steht ein Lastwagen mit einer Tragfähigkeit von 3,5 t zur Verfügung. Wie viele Fahrten muss der Lastwagen machen?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du benötigst zuerst das Volumen des kegelförmigen Sandhaufens mit der Formel \(V_{Kegel}=\frac{1}{3}A_Gh\). Die Höhe des Kegels ist dir bekannt. Den Flächeninhalt der Grundfläche musst du noch bestimmen. Da die Grundfläche ein Kreis ist, verwendest du die Flächeninhaltsformel \(A_{Kreis}=\pi r^2\). Allerdings kennst du den Kreisradius noch nicht, den du aber mithilfe des Kreisumfangs \(U_{Kreis}= 2\pi r\) bestimmen kannst.

Schritt 2: Kreisradius bestimmen

\(U_{Kreis}= 2\pi r \Rightarrow 25\ \text{m} =2 \pi r \Rightarrow r =\frac{25\ \text{m}}{2\pi}=3{,}98\ \text{m}\)

Schritt 3: Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen

\(A_{Kreis}=\pi r^2 \Rightarrow A_{Kreis}=\pi (3{,}98\ \text{m})^2 =49{,}76\ \text{m}^2\)

Schritt 4: Kegelvolumen bestimmen

\(V_{Kegel}=\frac{1}{3}A_Gh \Rightarrow V_{Kegel}=\frac{1}{3}(49{,}76\ \text{m}^2)3\ \text{m}=49{,}76\ \text{m}^3\)

Schritt 5: Anzahl der Lastenwagenfahrten bestimmen

49,76 m³ Sand entsprechen einer Masse von:

\(49{,}76\ \text{m}^3 \cdot1,5\ \text{kg}/1000\ \text{cm}^3= 49{,}76\cdot 10^6\ \text{cm}^3 \cdot 1,5\ \text{kg}/1000\ \text{cm}^3\)

\(=74{,}64\cdot 10^3\ \text{kg}= 74.640\ \text{kg}=74{,}640\ \text{t}\)

Da der Lastwagen 3,5 t pro Fahrt transportieren kann, muss der Lastwagen

\(74{,}64\ \text{t}:3,5\ \text{t}/Fahrt=21{,}33 \)

Fahrten machen. Also 22 Fahrten.

Schritt 5: Antwortsatz

Der Lastwagen muss 22 Fahrten machen, um den Sandhaufen abzufahren.

  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

In einen Metallwürfel mit der Kantenlänge a = 6 cm wird von oben ein 4 cm breites Loch gebohrt. Wie viel Prozent des Materials bleibt bei diesem Arbeitsschritt erhalten?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Volumen des Würfels und das Volumen des Bohrloches (Zylinder) berechnen und die beiden Volumina anschließend voneinander subtrahieren. Das Volumen des so entstandenen Restkörpers musst du als prozentualen Anteil des Würfelvolumens angeben. Das Volumen eines Würfels berechnest du mit der Formel \(V_{Würfel}=a^3\). Das Volumen des Zylinders berechnest du mit der Formel \(V_{Zylinder}=A_G \cdot h=\pi r^2 \cdot h\). Der Radius des Bohrloches ist 2 cm, die Höhe 6 cm (Kantenlänge des Würfels).

Schritt 2: Würfelvolumen bestimmen

\(V_{Würfel}=a^3=(6\ \text{cm})^3=216\ \text{cm}^3\)

Schritt 3: Zylindervolumen bestimmen

\(V_{Zylinder}=A_G \cdot h=\pi r^2 \cdot h= \pi(2\ \text{cm})^2\cdot 6\ \text{cm}= 75{,}4\ \text{cm}^3\)

Schritt 4: Volumen des Restkörpers bestimmen

\(V_{Restkörper}=V_{Würfel}-V_{Zylinder}= 216\ cm^3-75,4\ cm^3=140,6\ cm^3\)

Schritt 5: Anteil des Restkörpers bestimmen

\(p=\frac{140{,}6\ \text{cm}^3\ \cdot\ 100}{216}=65{,}09\ \%\)

Schritt 6: Antwortsatz

Bei diesem Arbeitsschritt bleiben 65,09 % des Metallwürfels erhalten.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

  1. Das Volumen eines Würfels wird verdoppelt. Wie verändert sich die Seitenlänge?
  2. Gibt es eine Kugel, die die gleiche Maßzahl für das Volumen und den Oberflächeninhalt hat?

Aufgabe 6a.

Das Volumen eines Würfels wird verdoppelt. Wie verändert sich die Seitenlänge?

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Volumen eines Würfels ist \(V_{Würfel}=a^3\). Da sich das Volumen des Würfels verdoppelt, musst du die beiden Volumina der Würfel vergleichen.

\(V_{Würfel1}=a^3\), \(V_{Würfel2}=b^3\) \(\Rightarrow\) \(V_{Würfel2}=2 \cdot V_{Würfel1}\)

Schritt 2: Seitenlänge bestimmen

\(b^3=2 \cdot a^3 \) \(\Rightarrow b=\sqrt[3]{2} \cdot a\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die Seitenlänge des Würfels vergrößert sich um den Faktor \(\sqrt[3]{2}\).

Aufgabe 6b.

Gibt es eine Kugel, die die gleiche Maßzahl für das Volumen und den Oberflächeninhalt hat?

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Volumen einer Kugel lautet \(V_{Kugel}= \frac{4}{3} \pi r^3\). Der Oberflächeninhalt hat die Formel \(A_{Oberfläche}= 4 \pi r^2\). Die Maßzahl ist die Zahl vor der Einheit. Du musst die beiden Formeln vergleichen und dabei die Einheiten ignorieren.

Schritt 2: Maßzahl bestimmen

\(V_{Kugel}= \frac{4}{3} \pi r^3\)\(=A_{Oberfläche}= 4 \pi r^2\) \(\Rightarrow ​​\frac{4}{3} \pi r^3 = 4 \pi r^2\) \(\Rightarrow ​​\frac{1}{3} \pi r^3 = \pi r^2\) \(\Rightarrow ​​ \pi r^3 = 3 \pi r^2\) \(\Rightarrow ​​ r^3 = 3 r^2\) \(\Rightarrow ​​ r = 3 \)

Schritt 3: Antwortsatz

Ja, gibt es. Die Kugel mit dem Radius \(r = 3 \) (Längeneinheiten) hat die gleiche Maßzahl für das Volumen und den Oberflächeninhalt.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6
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