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Wie du Volumen, Mantel- und Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Volumen, Mantel- und Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnest

Aufgabe

Ein Getreidesilo besteht aus einem 7 m hohen Zylinder und einem 2,5 m hohen Kegel. Der Radius beträgt 2,9 m und der Zylinder ist oben geschlossen.

Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt des Silos.

Wie du Volumen, Mantel- und Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Körper in einfache Teilkörper zerlegen

Das Silo besteht aus einem Zylinder (mit Deckel oben drauf) und einem nach oben geöffneten Kegel. Es gibt Volumen- und Flächenformeln für die beiden Grundkörper Zylinder und Kegel, sodass du zuerst die einzelnen Teilvolumina und Teilflächen ausrechnen kannst. Zum Schluss müssen diese Teilvolumina bzw. Teilflächen addiert werden.

Schritt 2: Teilvolumina berechnen

Volumen des Zylinders berechnen

Wie du Volumen, Mantel- und Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnest - Abbildung 2

Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet

\(V_Z=\pi\cdot r^2\cdot h_Z\),

wobei r der Radius und \(h_Z\) die Höhe des Zylinders ist. In unserem Fall ist \(r=2,9\text{ m} \)und \(h_Z=7\text{ m}\), d.h.

\(\begin{align*} V_Z&=\pi\cdot (2,9\text{ m})^2\cdot 7\text{ m}\\ &=\pi\cdot 8,41\text{ m}^2\cdot 7\text{ m}\\ &=\pi\cdot 58,87\text{ m}^3\\ &\approx 184,9\text{ m}^3. \end{align*} \)

Volumen des Kegels berechnen

Die Formel für das Volumen eines Kegels lautet

\(V_K=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h_K,\)

wobei r der Radius und \(h_K\) die Höhe des Kegels ist. In unserem Fall ist \(r=2,9\text{ m}\) und \(h_K=2,5\text{ m}\), d. h.

\(\begin{align*} V_K&=\frac{1}{3}\pi\cdot (2,9\text{ m})^2\cdot 2,5\text{ m}\\ &=\frac{1}{3}\pi\cdot 8,41\text{ m}^2\cdot 2,5\text{ m}\\ &=\frac{1}{3}\pi\cdot 21,025\text{ m}^3\\ &\approx 22,0\text{ m}^3.\end{align*} \)

Schritt 3: Zusammenrechnen der Volumina

Das Volumen des Silos setzt sich aus dem Zylindervolumen und dem Kegelvolumen zusammen, die du in Schritt 2 berechnet hast.

\(V=V_Z+V_K\approx 184,9\text{ m}^3+22,0\text{ m}^3=206,9\text{ m}^3\)

Schritt 4: Flächeninhalte der Teilflächen berechnen

Oberfläche des Zylinders berechnen

Der zylinderförmige Teil des Silos hat zum einen die Mantelfläche des Zylinders, zum andern den kreisförmigen Deckel als Oberfläche. Die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders lautet

\(A_{\text{Zylindermantel}}=2\pi\cdot r\cdot h_Z,\)

wobei r der Radius und hZ die Höhe des Zylinders ist. Im vorliegenden Fall ist also

\(\begin{align*} A_{\text{Zylindermantel}}&=2\pi\cdot 2,9\text{ m}\cdot 7\text{ m}\\ &=2\pi\cdot 20,3\text{ m}^2\\ &\approx 127,5\text{ m}^2. \end{align*} \)

Der Zylinderdeckel ist die Kreisfläche mit Radius \(2,9\text{ m},\) also mit Inhalt

\(\begin{align*} A_{\text{Deckel}}&=\pi\cdot r^2\\ &=\pi\cdot(2,9\text{ m})^2\\ &=\pi\cdot 8,41\text{ m}^2\\ &\approx 26,4\text{ m}^2.\end{align*} \)

Der zylindrische Teil des Silos trägt also insgesamt etwa \(127,5\text{ m}^2+26,4\text{ m}^2=153,9\text{ m}^2\) zur Gesamtoberfläche bei.

Mantelfläche des Kegels berechnen

Die Formel für die Mantelfläche eines Kegels lautet

\(A_{\text{Kegelmantel}}=\pi\cdot r\cdot s,\)

wobei r der Radius und s die Mantellinie des Kegels ist (Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen dem Äußeren der kreisförmigen Grundfläche und der Spitze). 

Wie du Volumen, Mantel- und Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnest - Abbildung 3

Die Länge s ist in der Aufgabenstellung nicht gegeben, aber du kennst schon die Höhe \(h_K\) und den Radius r und diese beiden bilden zusammen mit der Mantellinie s ein rechtwinkliges Dreieck.

Nach dem Satz des Pythagoras ist \(h_K^2+r^2=s^2,\) also ist die Mantellinie

\(s=\sqrt{h_K^2+r^2}.\)

Das kannst du in die Formel für die Mantelfläche des Kegels einsetzen und erhältst

\(\begin{align*} A_{\text{Kegelmantel}}&=\pi\cdot r\cdot\sqrt{h_K^2+r^2}\\ &=\pi\cdot 2,9\text{ m}\cdot\sqrt{(2,5\text{ m})^2+(2,9\text{ m})^2}\\ &=\pi\cdot 2,9\text{ m}\cdot\sqrt{6,25\text{ m}^2+8,41\text{ m}^2}\\ &=\pi\cdot 2,9\text{ m}\cdot\sqrt{14,66\text{ m}^2}\\ &\approx 34,9\text{ m}^2.\end{align*} \)

Schritt 5: Zusammenrechnen der Flächen

Die Oberfläche setzt sich aus dem Zylinderdeckel, der Zylindermantelfläche und der Kegelmantelfläche zusammen, die in Schritt 4 berechnet wurden.

\(\begin{align*} A&= A_{\text{Zylindermantel}}+A_{\text{Deckel}}+A_{\text{Kegelmantel}}\\ &\approx 127,5\text{ m}^2+26,4\text{ m}^2+34,9\text{ m}^2\\ &=188,8\text{ m}^2\end{align*} \)

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