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Wie du Terme vorteilhaft berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Terme vorteilhaft berechnest

Aufgabe

Berechne die folgenden Terme möglichst vorteilhaft.

a. \(20+19+80+11+13\)

b. \(27-25+23-5-10+30\)

Allgemein

Wenn ein Term nur aus Additionen (+) und Subtraktionen (−) besteht und keine Klammern besitzt, rechnest du normalerweise von links nach rechts. Es kann aber sein, dass du den Term durch Umstellen oder Klammernsetzen vereinfach kannst. Dafür gibt es zwei Gesetze.

  1. Kommutativgesetz der Addition: Das Kommutativgesetz erlaubt dir bei der Addition die Reihenfolge der Zahlen zu vertauschen. Also:

               \(a + b = b + a\)

  1. Assoziativgesetz der Addition: Dieses Gesetz besagt, dass du bei der Addition beliebig Klammern setzen darfst. Ein Beispiel wäre:

               \(a + b + c = (a + b) + c\)

Lösungsschritte zu Teilaufgabe a)

Schritt 1: Überlege dir, wie du den Term vereinfachen kannst

Wenn du viele Zahlen zusammenrechnen sollst, können dir leicht Fehler passieren. Vielleicht brauchst du aber auch viel Zeit, bis du zu einem Ergebnis kommst. Deswegen kann es helfen, dir den Term genau anzuschauen und zu überlegen, ob du Zahlen zusammenfassen kannst. Wenn sich dann runde Zahlen ergeben, macht das die Rechnung viel einfacher.

In diesem Fall:

20 + 19 + 80 + 11 + 13

  1. 20 + 80 = 100 
  2. 19 + 11 = 30

Schritt 2: Wende das Kommutativ- und das Assoziativgesetz an

Um die Erkenntnisse auf den ursprünglichen Term anzuwenden, musst du nun das Kommutativ- und das Assoziativgesetze verwenden.

  1. Kommutativgesetz

      20 + 19 + 80 + 11 + 13 = 20 + 80 + 19 + 11 + 13

  1. Assoziativgesetz

     20 + 80 + 19 + 11 + 13 = (20 + 80) + (19 +11) + 13

                                       = 100 + 30 + 13

                                       = 143

Lösungsschritte zu Teilaufgabe b)

Schritt 1: Überlege dir, wie du den Term vereinfachen kannst

      \(27 - 25 + 23 - 5 - 10 + 30\)

Dieser Term besteht aus Additionen und Subtraktionen. Wenn das der Fall ist, ergibt es oft Sinn, erst jeweils alle Zahlen mit einem + und alle Zahlen mit einem – davor zu addieren und danach voneinander zu subtrahieren.

  1. Zahlen mit +:
    27 − 25 + 23 − 5 − 10 + 30
    \(27+23+30 = 80\)
  2. Zahlen mit −:
    27 − 25 + 23 − 5 − 10 + 30
    \(25+5+10= 40\)

Schritt 2: Wende das Kommutativ- und das Assoziativgesetz an

Wenn du diese Erkenntnisse jetzt wieder auf den ursprünglichen Term anwendest, ergibt sich:

\(27 - 25 + 23 - 5 - 10 + 30 = 27 + 23 + 30 - 25 - 5 - 10\)

                                        \(= (27 + 23 + 30) - (25 + 5 + 10)\) *

                                        \( = 80 - 40\)

                                        \( = 40\)

Wichtig: Wenn du negative Zahlen mit einer Klammer zusammenfasst, steht in der Klammer ihr positiver Gegenwert. Also:

       \(- 25 - 5 - 10 = - (25 + 5 + 10)\)

Lösung

a. \(20 + 19 + 80 + 11 + 13 = (20 + 80) + (19 + 11) + 13 = 143\)

b. \(27 - 25 + 23 - 5 - 10 + 30 = (27 + 23 + 30) - (25 + 5 + 10) = 40\)

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