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Wie du die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bestimmst

Aufgabe

Ermittle durch Rechnung die Koordinaten des Scheitels der Parabel

\(y=-0,5x^2+2x-0,75.\)

Schritt 1: Quadratische Ergänzung

Die Parabelgleichung liegt in der allgemeinen Form

\(ax^2+bx+c\)

vor, wobei hier \(a=-0,5\), \(b=2\) und \(c=-0,75\) ist. Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu gelangen, musst du als Erstes den Faktor \(a\) vor dem \(x^2\) ausklammern. Das liefert die sogenannte Normalform

\(-0,5\cdot(x^2-\color{green} {4}x+1,5)\).

Jetzt machst du einen sogenannten quadratischen Einschub:

Du nimmst die Hälfte des grünen Faktors vor dem \( x\) (also \(2\)) und quadrierst. Das liefert \(2^2\). Diesen Term fügst du einmal mit Plus und einmal mit Minus in die Klammer ein (direkt hinter dem \(x\)):

Aus \(-0,5\cdot(x^2-4x+1,5)\) wird dann

\(-0,5\cdot\left(x^2-4x+2^2-2^2+1,5\right)\).

Jetzt wendest du die zweite binomische Formel1 an. Die sagt dir, dass

\(\color{maroon} {x^2-4x+2^2=(x-2)^2}\)

ist. Das bedeutet, dass wir den Term \(x^2-4x \) gerade um \(2^2\) ergänzt haben, um das Quadrat \((x-2)^2\) zu erhalten. Deswegen nennt man diesen Vorgang quadratische Ergänzung.

Auf jeden Fall setzt du die braune Formel jetzt in die vorherige ein und bekommst

\(-0,5\cdot\left(x^2-4x+2^2-2^2+1,5\right)=-0,5\cdot\left((x-2)^2-2^2+1,5\right)\).

Nun berechnest du noch \(-2^2+1,5=-4+1,5=-2,5 \) und ziehst diesen Term aus der Klammer raus:

\(\begin{align*} &-0,5\cdot\left((x-2)^2-2^2+1,5\right)\\ &=-0,5\cdot\left((x-2)^2-2,5\right)\\ &=-0,5\cdot(x-2)^2+1,25. \end{align*}\)

Das ist die Scheitelpunktform \(a(x-x_S)^2+y_S\) mit \(a=-0,5,\) \(x_S=2\) und \(y_S=1,25\).

 

\(^1\) Wenn der \(x\)-Term in der Normalform \(+4x\) statt \(-4x\) wäre, müsstest du an dieser Stelle die erste binomische Formel anwenden.

Schritt 2: Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen

In der Scheitelpunktform \(y=a(x-x_S)^2+y_S \) kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, er hat die Koordinaten \(S(x_S|y_S)\).

Lösung

Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind also in unserem Fall \(S(2|1,25)\).

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