Wie du die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bestimmst
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Ermittle durch Rechnung die Koordinaten des Scheitels der Parabel
\(y=-0,5x^2+2x-0,75.\)
Die Parabelgleichung liegt in der allgemeinen Form
\(ax^2+bx+c\)
vor, wobei hier \(a=-0,5\), \(b=2\) und \(c=-0,75\) ist. Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu gelangen, musst du als Erstes den Faktor \(a\) vor dem \(x^2\) ausklammern. Das liefert die sogenannte Normalform
\(-0,5\cdot(x^2-\color{green} {4}x+1,5)\).
Jetzt machst du einen sogenannten quadratischen Einschub:
Du nimmst die Hälfte des grünen Faktors vor dem \( x\) (also \(2\)) und quadrierst. Das liefert \(2^2\). Diesen Term fügst du einmal mit Plus und einmal mit Minus in die Klammer ein (direkt hinter dem \(x\)):
Aus \(-0,5\cdot(x^2-4x+1,5)\) wird dann
\(-0,5\cdot\left(x^2-4x+2^2-2^2+1,5\right)\).
Jetzt wendest du die zweite binomische Formel1 an. Die sagt dir, dass
\(\color{maroon} {x^2-4x+2^2=(x-2)^2}\)
ist. Das bedeutet, dass wir den Term \(x^2-4x \) gerade um \(2^2\) ergänzt haben, um das Quadrat \((x-2)^2\) zu erhalten. Deswegen nennt man diesen Vorgang quadratische Ergänzung.
Auf jeden Fall setzt du die braune Formel jetzt in die vorherige ein und bekommst
\(-0,5\cdot\left(x^2-4x+2^2-2^2+1,5\right)=-0,5\cdot\left((x-2)^2-2^2+1,5\right)\).
Nun berechnest du noch \(-2^2+1,5=-4+1,5=-2,5 \) und ziehst diesen Term aus der Klammer raus:
\(\begin{align*} &-0,5\cdot\left((x-2)^2-2^2+1,5\right)\\ &=-0,5\cdot\left((x-2)^2-2,5\right)\\ &=-0,5\cdot(x-2)^2+1,25. \end{align*}\)
Das ist die Scheitelpunktform \(a(x-x_S)^2+y_S\) mit \(a=-0,5,\) \(x_S=2\) und \(y_S=1,25\).
\(^1\) Wenn der \(x\)-Term in der Normalform \(+4x\) statt \(-4x\) wäre, müsstest du an dieser Stelle die erste binomische Formel anwenden.
In der Scheitelpunktform \(y=a(x-x_S)^2+y_S \) kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, er hat die Koordinaten \(S(x_S|y_S)\).
Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind also in unserem Fall \(S(2|1,25)\).
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