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Wie du aus der Scheitelpunktform die Normalform bildest und andersherum


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du aus der Scheitelpunktform die Normalform bildest und andersherum

Aufgabe

  1. Wandle die Funktion \(f(x) = x^2+ 8x + 14\) in die Scheitelform um.
  2. Schreibe die Funktion \(g(x)=3(x-4)^2-5\) in ihrer Normalform.

Lösungsschritte zu Teilaufgabe a)

a. Wandle die Funktion \(f(x) = x^2+ 8x + 14\) in die Scheitelform um.

Schritt 1: Verwende die quadratische Ergänzung

Die Normalform sieht allgemein ausgedrückt so aus:

\(f(x) = ax^2+bx+c\)

Die Scheitelform sieht dagegen so aus:

\(f(x) = a(x +d)^2+ e\)

Du musst also die Funktion in der Normalform zu einer binomischen Formel mit einem Rest umformen. Diese Rechnung heißt quadratische Ergänzung. Dazu zerlegst du zuerst den Term, der nur \(x\) enthält, in \(\color{green}{2 \cdot d\cdot x}\). Dann fügst du dieses \(\color{green}{d}\) in der Normalform als Quadratzahl ein und ziehst sie gleich wieder ab, damit sich der Wert des Terms nicht ändert. Die Funktion hat dann diese Form:

\(f(x) = x^2 + \color{green}{2 \cdot d\cdot x}\color{blue}{+d^2}\color{purple}{-d^2}+14\)

Sie gleicht also einer ausmultiplizierten binomischen Formel mit einem Rest.

Vergleiche jetzt bei dieser Form und bei der Funktion \(f(x) = x^2+ \color{green}{8x} + 14\) die beiden Terme, die nur \(x\) enthalten, und löse nach \(d\) auf.

\(8\cdot x = 2\cdot d\cdot x\)

\(d =4\)

Daraus folgt:

\(f(x) = x^2+2\cdot4\cdot x+4^2-4^2+14\)

Schritt 2: Schreibe die Funktion mit einer binomischen Formel

\(f(x) = x^2+2\cdot4\cdot x+4^2-4^2+14= (x-4)^2-16+14 = (x-4)^2-2\)

Lösungsschritte zu Teilaufgabe b)

b. Schreibe die Funktion \(g(x)=3(x-4)^2-5\) in ihrer Normalform.

Schritt 1: Löse die binomische Formel auf

Löse zunächst die binomische Formel auf.

\(g(x)= 3(x-4)^2-5= 3\cdot(x^2-8x+16)-5\)

Schritt 2: Löse die Klammer auf

Löse jetzt die Klammer auf und vereinfache so weit wie möglich.

\(g(x)=3x^2-24x+48-5\)

\(g(x)=3x^2-24x+43\)

Lösung

a) Die Scheitelform der Funktion lautet:
\(f(x) = (x-4)^2-2\)

b) Die Normalform der Funktion lautet:
\(g(x)=3x^2-24x+43\)

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