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Wie du erkennst, dass ein lineares Gleichungssystem keine Lösungen hat


Aufgabe

Löse das folgende Gleichungssystem.

I. 4x + 2y = 8

II. 2x + y = 3

Schritt 1: Suche ein Lösungsverfahren aus

Um ein Gleichungssystem zu lösen, musst du dir als Erstes ein Lösungsverfahren aussuchen. Du hast zur Auswahl: das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Man kann prinzipiell mit jedem Lösungsverfahren jedes Gleichungssystem lösen. Allerdings ist bei manchen Gleichungssystemen das eine Lösungsverfahren einfacher anzuwenden als die anderen. Bei diesem Gleichungssystem hier fällt auf, dass in der 2. Gleichung vor dem y keine Zahl steht.

I. 4x + 2y = 8

II. 2x + y = 3

Immer wenn das der Fall ist, solltest du das Einsetzungsverfahren wählen. 

Schritt 2: Wende das Lösungsverfahren an

Jetzt wendest du also das Einsetzungsverfahren auf das Gleichungssystem an. Dazu löst du die 2. Gleichung nach y auf.

I. 4x + 2y = 8

II. 2x + y = 3  | − 2x

IIa. y = 3 − 2x

Diesen Term setzt du nun für y in die 1. Gleichung ein. Vergiss dabei nicht, den Term in Klammern zu setzen!

IIa in I. 4x + 2(3 − 2x) = 8

Um x zu berechnen, musst du die Klammern auflösen.

         4x + 6 − 4x = 8

Jetzt fasst du die x-Terme zusammen. Dabei fällt auf: 4x − 4x ergibt 0.

       0 + 6 = 8

Also steht nur noch da:

           6 = 8

Schritt 3: Bestimme die Lösungsmenge 

Bei deiner Rechnung sind die x-Terme weggefallen. Übrig geblieben sind nur zwei Zahlen.

        6 = 8

Das ist ein Widerspruch: 6 kann niemals gleich 8 sein. Immer wenn bei deiner Rechnung die x-Terme wegfallen und sich ein solcher Widerspruch ergibt, dann ist die Lösungsmenge die leere Menge.

\(\mathbb{L} = \{\}\)

Hinweis

Es ist prinzipiell auch möglich, auf einen Blick zu erkennen, dass ein lineares Gleichungssystem keine Lösungen hat. Das funktioniert folgendermaßen: Du vergleichst die linken Seiten der beiden Gleichungen.

4x + 2y

2x + y

Dabei fällt dir auf, dass der obere Term genau das Doppelte des unteren Terms ist.

\(2 \cdot (2x + y) = 4x + 2y\)

Jetzt vergleichst du die rechten Seiten der beiden Gleichungen.

... = 8

... = 3

Hier fällt dir auf, dass 8 nicht genau das Doppelte von 3 ist. Immer wenn die linke Seite einer Gleichung genau ein Vielfaches der linken Seite der anderen Gleichung ist, das aber nicht für die beiden rechten Seiten gilt, dann hat ein Gleichungssystem keine Lösungen.

Lösung

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist die leere Menge.

\(\mathbb{L} = \{\}\)

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