Cramersche Regel

Die nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer benannte cramersche Regel ermöglicht die Lösung eines linearen Gleichungssystems (LGS) mithilfe von Determinanten. Da das Verfahren mit zunehmender Zahl von Variablen und/oder Gleichungen schnell ziemlich unübersichtlich wird, werden im Folgenden nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten betrachtet.

Nach der cramerschen Regel hat das LGS

(I)   \(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1\)
(II)   \(a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_1\)

mit reellen Koeffizienten a_ij und b_i 

• genau eine Lösung (x₁|x₂), wenn
  \(D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} \ne 0\)
  Für diese Lösung gilt dann mit \(D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} \) und \(D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} \)

  \(\displaystyle x_1 = \frac {D_1} D = \frac{b_1 \cdot a_{22} - b_2 \cdot a_{12}} { a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} }\)  und

  \(\displaystyle x_2 = \frac {D_2} D = \frac{a_{11} \cdot b_2 - a_{21} \cdot b_1 } { a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} }\)

• keine Lösung, wenn D = 0 und \(D_1 \ne 0 \lor D_2 \ne 0\)

• unendliche viele Lösungen, wenn D = D₁ = D₂ = 0. Dann ist
  \(L = \left\{(x_1|x_2) | a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \right\} \ \ (x_1,x_2 \in \mathbb R)\)

Beispiele:
\(\begin{matrix} &(\text I)& 8x_1 &+& 13 x_2 &=& 5 \\ &(\text{II})& -4 x_1 &+& 9 x_2 &=& 5 \end{matrix}\)

\(D = \begin{vmatrix} 8 & -13 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = 8 \cdot 9 - (-4) \cdot (-13) = 20 \ne 0\\ D_1 = \begin{vmatrix} 5 & -13 \\ 5 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 5 \cdot (-13) =110\\ D_2 = \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ -4 & 5 \end{vmatrix} = 8 \cdot 5 - (-4) \cdot 5 = 60\)

\(\displaystyle x_1 = \frac {D_1} D = -\frac{110}{20}=5,5; \ \ x_2 = \frac {D_2} D = \frac{60}{20} = 3\)

Das Gleichungssystem hat die Lösungsmenge L = {3; 5,5}.

\(\begin{matrix} &(\text I)& 4 x_1 &+& 3 x_2 &=& 2 \\ &(\text{II})& 8 x_1 &+& 6 x_2 &=& 5 \end{matrix}\)

\(D = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - 8 \cdot 3 = 0;\ \ D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3 \neq 0\)

Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung: \(L = \emptyset\).