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Lexikon

Cramersche Regel

5. Klasse ‐ Abitur

Die nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer benannte cramersche Regel ermöglicht die Lösung eines linearen Gleichungssystems (LGS) mithilfe von Determinanten. Da das Verfahren mit zunehmender Zahl von Variablen und/oder Gleichungen schnell ziemlich unübersichtlich wird, werden im Folgenden nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten betrachtet.

Nach der cramerschen Regel hat das LGS

(I)   \(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1\)
(II)   \(a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_1\)

mit reellen Koeffizienten aij und bi 

  • genau eine Lösung (x1|x2), wenn
    \(D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} \ne 0\)
    Für diese Lösung gilt dann mit \(D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} \) und \(D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} \)

    \(\displaystyle x_1 = \frac {D_1} D = \frac{b_1 \cdot a_{22} - b_2 \cdot a_{12}} { a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} }\)  und

    \(\displaystyle x_2 = \frac {D_2} D = \frac{a_{11} \cdot b_2 - a_{21} \cdot b_1 } { a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} }\)

  • keine Lösung, wenn D = 0 und \(D_1 \ne 0 \lor D_2 \ne 0\)

  • unendliche viele Lösungen, wenn D = D1 = D2 = 0. Dann ist
    \(L = \left\{(x_1|x_2) | a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \right\} \ \ (x_1,x_2 \in \mathbb R)\)

 

Beispiele:
\(\begin{matrix} &(\text I)& 8x_1 &+& 13 x_2 &=& 5 \\ &(\text{II})& -4 x_1 &+& 9 x_2 &=& 5 \end{matrix}\)

\(D = \begin{vmatrix} 8 & -13 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = 8 \cdot 9 - (-4) \cdot (-13) = 20 \ne 0\\ D_1 = \begin{vmatrix} 5 & -13 \\ 5 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 5 \cdot (-13) =110\\ D_2 = \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ -4 & 5 \end{vmatrix} = 8 \cdot 5 - (-4) \cdot 5 = 60\)

\(\displaystyle x_1 = \frac {D_1} D = -\frac{110}{20}=5,5; \ \ x_2 = \frac {D_2} D = \frac{60}{20} = 3\)

Das Gleichungssystem hat die Lösungsmenge L = {3; 5,5}.

 

\(\begin{matrix} &(\text I)& 4 x_1 &+& 3 x_2 &=& 2 \\ &(\text{II})& 8 x_1 &+& 6 x_2 &=& 5 \end{matrix}\)

\(D = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - 8 \cdot 3 = 0;\ \ D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3 \neq 0\)

Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung: \(L = \emptyset\).