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Abiturprüfung

Originalprüfung GA 1

Abitur 55 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Eine frisch eingepflanzte kleine Buche hat eine Höhe von \(0{,}3\text{ m}\). Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum dieser Buche aufgrund von Messungen in den ersten Jahren nach dem Pflanzen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung:\(\begin{align} f(t) &= 0{,}3 + 35 \cdot ( 1-e^{-0{,}02 \cdot t})^2 \\ &= 0{,}3 + 35 \cdot (1-2\cdot e^{-0{,}02 \cdot t} + e^{-0{,}04 \cdot t});\quad t \geq 0 \\ \end{align}\)

    Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{m}\) aufgefasst. Der Zeitpunkt der Pflanzung der kleinen Buche wird durch \(t=0 \) festgelegt. Der Graph von \(f\) ist in Abbildung 1 dargestellt.0

    Bild entfernt.

     

  • Aufgabe 2

    1 Minute 11 Punkte

    a)

    1. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von \(f\) im Sachzusammenhang.
    2. Berechnen Sie \(f(20)\) und nennen Sie die Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang.
    3. Begründen Sie, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als \(35{,}3\text{ m}\) werden kann.
  • Aufgabe 3

    1 Minute 14 Punkte

    b)

    Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt \(t_1\), zu dem die Buche am stärksten wächst.

  • Aufgabe 4

    1 Minute 15 Punkte

    c)

    In Abbildung 2 ist neben dem Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit \(f'\) der oben genannten Buche auch der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit \(g' \) einer zweiten Buche mit der Gleichung \(g'(t)=1{,}1 \cdot (e^{-0{,}02 \cdot t} - e^{-0{,}04 \cdot t} )\)\(t \geq 0\), dargestellt. Die zweite Buche wurde an einem anderen Standort zum selben Zeitpunkt wie die erste Buche gepflanzt. Bei der Pflanzung war auch die zweite Buche \(0{,}3 \text{ m}\) hoch.

    1. Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Buchen im Vergleich.
    2. Begründen Sie, dass der Graph von \(g'\) an derselben Stelle ein Maximum besitzt wie der Graph von \(f'\).
    3. Begründen Sie anhand der Abbildung 2, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt \( t>0\) eine größere Höhe hat als die zweite Buche.
  • Aufgabe 5

    1 Minute 10 Punkte

    d)

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(t)=27{,}5 \cdot ( e^{-0{,}04t} - 2\cdot e{-0{,}02t})\)\(t \geq 0\), eine Stammfunktion von \(g' \) ist.
    2. Jemand behauptet, dass die beiden Buchen \(50\) Jahre nach ihrer Anpflanzung gemäß den Modellierungen ihres Höhenwachstums einen Höhenunterschied von mindestens \(3{,}50\text{ m}\) aufweisen müssten. Prüfen Sie, ob diese Behauptung wahr ist.
  • Aufgabe 6

    1 Minute

    In einen BMX-Parcours wird eine Sprungschanze eingebaut, deren seitliches Profil durch den Graphen der Funktion \(f\) mit der Gleichung

    \(f(x)=-\frac{1}{50}x^3 + \frac{3}{4}x;\quad -8 \leq x \leq 0\)

    gegeben ist. (Die Funktion \(f\) ist für alle \(x\in \mathbb R\) definiert, wird aber nur für \(-8 \leq x \leq 0\) zur Modellierung verwendet.) Dabei werden sowohl \(x\) als auch \(f(x)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1\,\text{m}\) aufgefasst. Der Funktionsgraph von \(f\) ist in Abbildung 1 dargestellt.

    Die Sprungschanze wird ausgehend vom Startpunkt \(S\) von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass der Absprungpunkt \( A(0|0)\) auf dem Niveau des Erdbodens liegt, das in der Seitenansicht durch die \(x\)-Achse festgelegt ist.

     

     
  • Aufgabe 7

    1 Minute 16 Punkte

    a)

    1. Berechnen Sie die Höhe \(y_s\) des Startpunktes \(S(-8|y_s)\) über dem Erdboden.
    2. Der Funktionsgraph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(A(0|0)\) und in einem weiteren Punkt \(B\). Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes \(B\). [Zur Kontrolle: \(B \left( -\frac{5}{2} \sqrt{6} \middle| 0 \right)\)]
    3. Die durchschnittliche Steigung der Sprungschanze zwischen dem Startpunkt \(S\) und dem Absprungpunkt \(A\) wird mit \(-0{,}53\) angegeben. Prüfen Sie diese Angabe und zeigen Sie, dass der angegebene Durchschnittswert auch als Steigung in einem Punkt des Sprungschanzenprofils vorkommt. Erklären Sie, warum der angegebene Durchschnittswert der Steigung nur wenig über den Verlauf der Sprungschanze aussagt.
  • Aufgabe 8

    1 Minute 12 Punkte

    b)

    1. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des tiefsten Punktes \(T\) des Sprungschanzenprofils.
    2. Berechnen Sie den Winkel gegen die Horizontale, unter dem die BMX-Fahrer im Punkt \(A\) die Schanze tangential verlassen. 
  • Aufgabe 9

    1 Minute 8 Punkte

    c)

    In dem Bereich, in dem das Profil der Sprungschanze unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft, muss Erde ausgehoben werden.

    1. Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion \(F\) der Funktion \( f\) an.
    2. Berechnen Sie, wie groß das Erdvolumen ist, das bis zur Profillinie der Sprungschanze ausgehoben werden muss, wenn die Sprungschanze \(2\,\text{m}\) breit ist. 
  • Aufgabe 10

    1 Minute 14 Punkte
     

    d)

    Um den BMX-Fahrern nach dem Sprung eine weichere Landung zu ermöglichen, soll rechts vom Punkt \(A\) im Bereich \(0 \leq x \leq 5\) ein Aufsprunghügel angelegt werden, dessen seitliches Profil durch den Graphen der ganzrationalen Funktion 3. Grades \(h\) zu modellieren ist. Dieses soll im Punkt \(A\) ohne Knick an das Profil der Sprungschanze anschließen und im Punkt \( D(5|0)\) ebenfalls ohne Knick in die waagerechte Erdoberfläche übergehen.

    1. Geben Sie die Bedingung an, die die Funktion \(h\) erfüllen muss, und leiten Sie daraus eine Gleichung dieser Funktion \(h\) her (siehe Abbildung 2). [Zur Kontrolle:  \(h(x)=\frac{3}{100}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{3}{4}x \)]
    2. Bestimmen Sie die Stelle, an der der durch den Graphen der Funktion \(h\) modellierte Aufsprunghügel die betragsmäßig größte Steigung hat. 

     

  • Aufgabe 11

    1 Minute

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=x^3 + 3x^2\)\(x \in \mathbb R\). Der Graph der Funktion \( f\) wird in der Abbildung dargestellt.

  • Aufgabe 12

    1 Minute 13 Punkte

    a)

    1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
    2. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f\).
  • Aufgabe 13

    1 Minute 8 Punkte

    b)

    Man betrachtet die Verschiebung, welche den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\) auf den Ursprung des Koordinatensystems abbildet.

    1. Zeigen Sie rechnerisch: Durch die genannte Verschiebung wird der Graph der Funktion \(f\) auf den Graphen der Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(x)=x^3-3x\)\(x \in \mathbb R\), abgebildet.
    2. Begründen Sie nun, dass der Graph der Funktion \(f\) punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \(W(-1|2)\) ist.
  • Aufgabe 14

    1 Minute 14 Punkte

    c)

    1. Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(h\) schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.
    2. Es sei \(p\) die Parallele zur \(x\)-Achse durch den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\). Bestimmen Sie (zum Beispiel mithilfe von b) (1)) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion \(f\) und der Geraden \(p\) eingeschlossen wird.
  • Aufgabe 15

    1 Minute 15 Punkte

    d)

    Für eine beliebige positive reelle Zahl \(a\) ist die Funktion \(f_a\) mit der Gleichung \( f_a(x)=x^3 + ax^2\)\(x \in \mathbb R\), gegeben. Für \(a=3\) erhält man z. B. die zuvor betrachtete Funktion \(f\).

    1. Es sei \(w_a\) die Tangente im Wendepunkt \(W_a\) der Funktion \(f_a\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w_a\) in Abhängigkeit von \( a\). [Zur Kontrolle: \(\: w_a(x)= -\frac{1}{3}a^2x-\frac{1}{27}a^3\)\(x \in \mathbb R \)]
    2. Die Tangente \(w_a\) schließt im III. Quadranten eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von \(a\).

     

  • Aufgabe 16

    1 Minute

    Ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck aus Pappe wird zwischen eine Lichtquelle und eine Leinwand gehalten, auf der es einen Schatten erzeugt (s. Abbildung).

     

     

    In dieser Aufgabe ist die Leinwand Teil der \(x_2\)\(x_3\)-Ebene, die Position der Lichtquelle ist \(L(40|10|18)\), die Längeneinheit \(1\,\text{dm}\). Das Pappdreieck wird so zwischen Lichtquelle und Leinwand gehalten, dass seine Ecken in den Punkten \(A(30|10|16)\), \(B(32|11|18)\) und \(C(31|12|14)\) liegen.

  • Aufgabe 17

    1 Minute 12 Punkte

    a)

    1. Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks \(ABC\).
    2. Bestimmen Sie die Position des rechten Winkels im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
  • Aufgabe 18

    1 Minute 12 Punkte

    b)

    Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte \(A'\)\(B'\) und \(C'\) des Schattens, den das Pappdreieck auf die Leinwand wirft. [Zur Kontrolle: \(A'(0|10|10)\)\(B'(0|15|18) \) und \(C' \left( 0 \middle| \frac{170}{9} \middle| \frac{2}{9} \right) \)]

  • Aufgabe 19

    1 Minute 5 Punkte

    c)

    Zeigen Sie, dass das Schattendreieck \(A'B'C'\) des Dreiecks \(ABC\) keinen rechten Winkel bei \(A'\) hat. 

  • Aufgabe 20

    1 Minute 21 Punkte

    d)

    Nun soll das Volumen des Schattenraums zwischen dem Dreieck \(ABC\) und seinem Schatten \( A'B'C'\) berechnet werden (s. Abbildung). Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:

    1. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide \( A'B'C'L\) mit der Grundfläche \(A'B'C'\) und der Spitze \(L\). Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass das Dreieck den Flächeninhalt \(60 \, \mathrm{dm^2} \) hat.
    2. Geben Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(A\)\(B\), und \(C\) gegebenen Ebene \(E_{ABC}\) in Parameterform an. Bestimmen Sie einen Vektor \(\vec{n}\), der senkrecht auf \( E_{ABC} \) steht, und geben Sie eine Gleichung der Geraden \(l\) an, die durch den Punkt \(L\) verläuft und die Ebene \(E_{ABC} \) senkrecht schneidet. [Zur Kontrolle: z. B. \( \vec{n}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\)]
    3. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(F\) dieser Geraden \(l\) mit der Ebene \(E_{ABC}\) und berechnen Sie den Abstand der Punkte \(L\) und \(F\).[Zur Kontrolle: \(F(36|14|20) \)]
    4. Ermitteln Sie nun das Volumen des Schattenraums zwischen dem Dreieck \(ABC\) und seinem Schatten \(A'B'C' \) (s. Abbildung).
  • Aufgabe 21

    1 Minute

    In der Ebene \(\mathbb R^2\) ist die Abbildung \(\alpha \) gegeben durch die Gleichung:\(a( \vec{x}) = \begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\)

     

     

  • Aufgabe 22

    1 Minute 12 Punkte

    a)

    Das Viereck \(ABCD\) hat die Eckpunkte \(A(-1|0)\)\(B(1|0)\)\(C(3|2)\) und \(D(1|2)\).

    1. Zeigen Sie, dass das Viereck \(ABCD \) ein Parallelogramm ist.
    2. Berechnen Sie die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\)\(B'\)\(C'\)\(D'\) und zeigen Sie, dass das Viereck \(A'B'C'D'\) ein Quadrat ist
  • Aufgabe 23

    1 Minute 13 Punkte

    b)

    Gegeben sind die Geraden \(g:\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)\(r \in \mathbb R \), und \(h:\vec{x} = \begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\)\( s \in \mathbb R\).

    1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden \(g'\) von \(g\) bezüglich der Abbildung \( \alpha\) und ermitteln Sie die Lagebeziehung von \(g\) und \(g'\).
    2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden \(h'\) von \(h\) bezüglich der Abbildung \(\alpha\) und ermitteln Sie die Lagebeziehung von \(h\) und \(h'\).
  • Aufgabe 24

    1 Minute 13 Punkte

    c)

    Zeigen Sie, dass die Abbildung \(\alpha\) die folgenden Eigenschaften besitzt:

    1. Der Punkt \(P(0|4)\) wird durch \(\alpha\) auf den Punkt \(P'(6|1)\) abgebildet.
    2. Jeder Punkt der Geraden \(k: x_1-x_2=-1\) wird durch \(\alpha\) auf sich selbst abgebildet.
    3. Jeder Punkt, der nicht auf der Geraden \(k\) liegt, wird nicht auf sich selbst abgebildet.
    4. Jede Gerade, die durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden \(k\) liegt, und seinen Bildpunkt verläuft, ist parallel zur Geraden \(PP'\).
  • Aufgabe 25

    1 Minute 12 Punkte

    d)

    Nun soll der Bildpunkt \(Q'\) des Punktes \(Q(3|0)\) geometrisch konstruiert werden. Stellen Sie diese geometrische Konstruktion grafisch dar und erklären Sie Ihr Vorgehen.

  • Aufgabe 26

    1 Minute

    Von einem Forstbetrieb werden auf verschiedenen Waldflächen Tannen gezogen. (Dort wachsen nur Bäume, die von dem Forstbetrieb angepflanzt wurden.) Entsprechend ihrer Höhe werden die Tannen in 3 Größenklassen eingeteilt: Tannen, die weniger als \(1\,\text{m}\) groß sind, gehören zur Größenklasse \(K\) (klein); Tannen, die mindestens \(1\,\text{m}\), aber weniger als \(2\,\text{m}\) groß sind, gehören zur Größenklasse \(M\) (mittel); Tannen, die mindestens \(2\,\text{m}\) groß sind, gehören zur Größenklasse \(G\) (groß).

    Jeweils zu Beginn eines festen Zeitraums (Wachstumsperiode), auf den sich im Folgenden die Übergänge zwischen den 3 Größenklassen beziehen, wird eine Bestandsaufname durchgeführt. Die Übergangsquoten berücksichtigen, dass abgestorbene, kranke oder beschädigte Bäume im Laufe jeder Wachstumsperiode aus dem Bestand entfernt werden.

  • Aufgabe 27

    1 Minute 10 Punkte

    a) 

    Auf einer der Waldflächen erreichen von den Tannen der Größenklasse \(K\) innerhalb einer Wachstumsperiode \(50\ \%\) die Größenklasse \(M\) und \(10\ \%\) die Größenklasse \(G\), während \(30\ \%\) in der Größenklasse \(K\) verbleiben. Von den Tannen der Größenklasse \(M\) erreichen innerhalb einer Wachstumsperiode \(55\ \%\) die Größenklasse \(G\), während \(40\ \%\) in der Größenklasse \(M\) verbleiben. Von den Tannen der Größenklasse \(G\) sind am Ende einer Wachstumsperiode noch \(98\ \%\) in der Größenklasse \(G\).  Stellen Sie dieses Wachstumsverhalten durch ein Übergangsdiagramm dar und bestimmen Sie eine Übergangsmatrix, die dieses Wachstumsverhalten beschreibt.

  • Aufgabe 28

    1 Minute 20 Punkte

    Auf einer anderen Waldfläche wird eine andere Art von Tannen gezogen. Eine Zählung ergab die folgende Übergangsmatrix \(A\) für das Übergangsverhalten zwischen den oben genannten Größenklassen innerhalb einer Wachstumsperiode.

     

    In Teilaufgabe b) wird angenommen, dass diese Übergangsquoten auch für die vorangegangenen und folgenden Wachstumsperioden gelten.

    b)

    Die Bestandsaufnahme zu Beginn einer bestimmten Wachstumsperiode ergibt \(450\) Tannen der Größenklasse \(K\)\(4230\) Tannen der Größenklasse \(M\) und \(5320\) Tannen der Größenklasse \(G\).

    1. Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende dieser Wachstumsperiode.
    2. Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen eine Wachstumsperiode vor dem Zeitpunkt der Bestandsaufnahme.
    3. Zeigen Sie ausgehend von einem beliebigen Bestandsvektor \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)\), dass der Gesamtbestand an Tannen am Ende einer Wachstumsperiode \(95\ \%\) des Bestandes zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
    4. Berechnen Sie, nach wie vielen Wachstumsperioden erstmals weniger als \(60\ \%\) des ursprünglichen Gesamtbestandes an Tannen vorhanden sind.
  • Aufgabe 29

    1 Minute 20 Punkte

    Nun wird davon ausgegangen, dass jeweils am Ende einer Wachstumsperiode, innerhalb derer sich der Bestand zunächst gemäß der Übergangsmatrix \(A\) entwickelt hat, \(56\ \%\) des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse \(G\) gefällt und danach genau so viele Tannen in der Größenklasse \(K\) neu gesetzt werden, wie zuvor in der Größenklasse \(G\) gefällt wurden.

    c)

    1. Bestimmen Sie ausgehend von einem beliebigen Bestandsvektor \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)\) zu Beginn einer Wachstumsperiode, wie viele Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende der Wachstumsperiode nach dem Fällen und vor dem Wiederaufforsten vorhanden sind.
    2. Gesucht ist eine Übergangsmatrix \(C\), die den Übergang zwischen den Größenklassen \(K\)\(M\) und \(G\) innerhalb einer Wachstumsperiode unter Berücksichtigung der abschließenden Fäll- und Wiederaufforstungsarbeiten beschreibt. Zeigen Sie, dass \(C =\left(\begin{array}{c} 0{,}25 & 0{,}224 & 0{,}532 \\ 0{,}7 & 0{,}55 & 0 \\ 0 & 0{,}176 & 0{,}418\end{array}\right) \) gilt.
    3. Begründen Sie, dass nach der Wiederaufforstung am Ende einer Wachstumsperiode der Gesamtbestand an Tannen \(95\ \%\) des Bestandes zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
    4. Bestimmen Sie bezogen auf einen beliebigen Bestandsvektor \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)\) zu Beginn einer Wachstumsperiode, wie viele Tannen der Größenklasse \(K\) nach den Fällarbeiten am Ende der Wachstumsperiode insgesamt neu gesetzt werden müssten, damit die Gesamtzahl der Tannen am Ende der Wachstumsperiode gleich der Anzahl der Tannen zu Beginn dieser Wachstumsperiode ist.
  • Aufgabe 30

    1 Minute

    Stochastik

    Hinweis: Um diese Aufgabe lösen zu können, sollte man folgende Lerneinheiten bearbeitet haben: 

    BernoulliverteilungLaplace-ExperimentBaumdiagrammBedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit ; Zufallsvariablen und Hypothesentests

  • Aufgabe 31

    1 Minute

    Laut ADFC (Allgemeiner Deutscher Fahrrad Club) nutzen \(\frac{2}{3}\) aller Deutschen ihr Fahrrad privat oder auf dem Weg zur Arbeit mindestens einmal im Monat. In der gesamten Aufgabe sollen alle genannten Anteile als Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.

  • Aufgabe 32

    1 Minute 8 Punkte

    a)

    In einer repräsentativen Umfrage werden \(100\) zufällig ausgewählte Deutsche befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

    \(E_1\): Unter den Befragten nutzen genau \(70\) mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.\(E_2\): Unter den Befragten nutzen mindestens \(70\) mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.\(E_3\): Unter den Befragten nutzen mindestens \(60\) und höchstens \(70\) mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.

  • Aufgabe 33

    1 Minute

    b)

    Bei Kontrollen der Polizei werden Fahrräder, die Mängel aufweisen, beanstandet. Bei diesen Prüfungen hat durchschnittlich \(\frac{1}{6}\) der Fahrräder Mängel.

    Bestimmen Sie die Anzahl \(n\) der Fahrräder, die von der Polizei kontrolliert werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\ \%\) mindestens ein Fahrrad mit Mängeln entdeckt wird.

  • Aufgabe 34

    1 Minute 13 Punkte

    c)

    Die Nutzung des Fahrrads als regelmäßiges Verkehrsmittel auf dem Weg zur Arbeit hängt unter anderem von der Ortsgröße ab.

    Bild entfernt.

    \(^1\) Quelle: Laufende Raumbeobachtung des Bundesamtes für Bauwesen und Raumordnung (2011)\(^2\) Fahrradmonitor des ADFC

     

    1. Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie alle resultierenden Pfadwahrscheinlichkeiten (1. Stufe: Ortsgröße).
    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person regelmäßig ein Fahrrad als Verkehrsmittel nutzt. 
  • Aufgabe 35

    1 Minute 5 Punkte

    d) 

    Studien zeigen, dass Fahrradfahrer, die keinen Helm tragen, ein 4-mal so hohes Risiko für schwere Verletzungen eingehen wie Fahrradfahrer, die einen Helm tragen. Unabhängig davon reduziert sich das Unfallrisiko bei 20- bis 40-jährigen Fahrradfahrern auf \(55\ \%\) des Risikos bei 10- bis 15-jährigen Kindern.

    Bestimmen Sie, um wie viel Prozent bei einem 10- bis 15-jährigen Kind, das keinen Helm trägt, das Risiko für eine schwere Verletzung höher ist als bei einem 20- bis 40-jährigen Fahrradfahrer, der einen Helm trägt.

  • Aufgabe 36

    1 Minute 18 Punkte

    e)

    Die Einsatzleitung der Polizei vermutet, dass wegen der häufigen Kontrollen mittlerweile weniger als \(10\ \%\) der Fahrräder Mängel aufweisen. Sie möchte diese Vermutung überprüfen und, falls sie als richtig angenommen wird, die Kontrollen nur noch jährlich statt monatlich durchführen. An einem Morgen werden \(200\) Fahrräder kontrolliert.

    1. Auf Grundlage dieser Stichprobe soll ein aus Sicht der Polizei sinnvoller Test entworfen werden, um zu überprüfen, ob die Mängelquote wirklich unter \(10\ \%\) gesunken ist. Ermitteln Sie aus Sicht der Polizei geeignete Hypothesen und eine dazu passende Entscheidungsregel mit einem Signifikanzniveau von \(\alpha=0{,}05 \) und begründen Sie die Wahl der Hypothesen.
    2. Geben sie eine begründete Entscheidung an, wenn bei \(16\) der \(200\) kontrollierten Fahrräder Mängel festgestellt werden.
    3. Beschreiben Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.
  • Aufgabe 37

    1 Minute

  • Aufgabe 38

    1 Minute

  • Aufgabe 39

    1 Minute

  • Aufgabe 40

    1 Minute

  • Aufgabe 41

    1 Minute

  • Aufgabe 42

    1 Minute

  • Aufgabe 43

    1 Minute

  • Aufgabe 44

    1 Minute

    Bundeslandwirtschaftsministerin Ilse Aigner hat im April 2009 den Anbau von Genmais in Deutschland verboten, da ihrer Ansicht nach Risiken für die Umwelt nicht ausgeschlossen werden konnten. Im Januar 2010 fand eine repräsentative Umfrage unter der deutschen Bevölkerung mit folgender Fragestellung statt: „Sollte der Anbau von Genmais in Deutschland weiterhin verboten bleiben?“

    Die Tabelle gibt die Ergebnisse der Umfrage nach Altersgruppen aufgeschlüsselt wieder.

    Bild entfernt.

     

    Bild entfernt.

     

  • Aufgabe 45

    1 Minute 8 Punkte

    a)

    1. Eine Person wird zufällig aus den \(1005\) Teilnehmern der Umfrage ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie keine Angabe gemacht hat.
    2. Unter den Befragten der Altersgruppe „14 bis 29“ befanden sich \(57\) Schüler. Von diesen antworteten \(\frac 2 3\) mit „Ja“. Bestimmen Sie den Anteil der Nicht-Schüler unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ geantwortet haben.
  • Aufgabe 46

    1 Minute 10 Punkte

    b)

    Die Umfrage wurde auch nach Herkunft der Teilnehmer (West- oder Ostdeutschland) ausgewertet.

     
    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer der Umfrage, der mit „Ja“ geantwortet hat, aus Westdeutschland stammt.
    2. Aus den Teilnehmern der Umfrage werden \(2\) Personen zufällig ausgewählt. Beide haben mit „Ja“ geantwortet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Person aus demselben Teil Deutschlands stammt wie die 1. (Ost bzw. West).
  • Aufgabe 47

    1 Minute 17 Punkte

    c)

    Im folgenden Aufgabenteil sollen die in der obigen Umfrage ermittelten relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten für die Bevölkerung in Deutschland angenommen werden.

    1. Angenommen, bei dieser Umfrage werden nur Personen aus der Altersgruppe „50 bis 59“ befragt. Begründen Sie, dass die Zufallsgröße \(X\): „Anzahl der Befragten, die mit ‚Nein‘ geantwortet haben“ als binomialverteilt angenommen werden kann, und zeigen Sie, dass die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac 1 8 \) beträgt.

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

    1. unter \(40\) zufällig in der Altersgruppe „50 bis 59“ ausgewählten Personen die Anzahl derer, die mit „Nein“ antworten, genau dem Erwartungswert dieser Altersgruppe entspricht.
    2. unter \(50\) zufällig in der Altersgruppe „50 bis 59“ ausgewählten Personen mindestens \(42\) nicht mit „Nein“ antworten.
    3. von \(10\) zufällig ausgewählten Personen alle eine Angabe („Ja“ oder „Nein“) machen, wenn diesmal bei der Umfrage nur Personen im Alter von 14 bis 49 Jahren befragt werden.
  • Aufgabe 48

    1 Minute 15 Punkte

    d)

    1. Um z. B. den unbekannten Anteil \( p_M\) der Befürworter unter allen Männern zu schätzen, kann man eine Umfrage unter zufällig ausgewählten Männern durchführen, die Anzahl \(X\) der Befürworter in der Umfrage ermitteln und daraus ein \(95\ \%\)-Konfidenzintervall \(K_M\) für \(p_M\) ermitteln. Erklären Sie die Bedeutung dieses Intervalls im Sachzusammenhang.

    In der tatsächlich durchgeführten Umfrage sprachen sich von den \(487\) befragten Männern \(366\) für ein Verbot des Anbaus von Genmais aus, von den befragten \(518\) Frauen sogar \(426\). Für den unbekannten Anteil der Befürworter unter allen Männern wurde als \(95\ \%\)-Konfidenzintervall daraus näherungsweise das Intervall \(K_M=[0{,}7113; 0{,}7878]\) ermittelt.

    1. Bestimmen Sie aufgrund der Umfrage ein \(95\ \%\)-Konfidenzintervall \(K_F\) für den unbekannten Anteil \(p_F\) der Befürworter unter den Frauen. Gehen Sie dabei ohne Beweis davon aus, dass die Zufallsgröße \(Y\): „Anzahl der Frauen, die mit ‚Ja‘ geantwortet haben“ binomialverteilt ist und die Laplace-Bedingung \(\sigma>3 \) erfüllt ist.
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