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Lexikon Mathe

Wurzel (Mathematik)

Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens, sofern man sich auf nichtnegative reelle Zahlen beschränkt:

\(x = a^2 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\)  bzw.  \(x = a^n \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt[n] x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\)

\(\displaystyle \left( \sqrt[n] x \right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\)

Die Zahl oder der Term „unter der Wurzel“ heißt Radikand, die Zahl n Wurzelexponent.

Es gilt weiterhin:
\(\sqrt{x^2} = |x|\)  (eine Wurzel ist nie negativ)

Achtung: Für negative Radikanden sind die obigen Terme nicht sinnvoll zu definieren, deshalb immer darauf achten, dass der Radikand eines Wurzelterms nicht negativ wird – genauso, wie der Nenner eines Bruchs nicht 0 oder das Argument eines Logarithmus weder negativ noch 0 werden darf.

Die Wurzel aus einer Zahl ist entweder – wenn die Zahl eine Quadratzahl ist  – eine natürliche Zahl oder aber eine irrationale Zahl.

Wurzelfunktionen sind Funktionen mit einem Wurzelausdruck als Funktionsterm. Da man jeden Wurzelterm auch als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben kann (\(\sqrt[r]{x} \equiv x^{1/r}\) und  \(\sqrt[r]{x^s} \equiv x^{s/r}\) mit\(s \in \mathbb Z, \ r \in \mathbb Z \setminus \{0\}\)), werden diese Funktionen bei den Potenzfunktionen behandelt.

 

Rechenregeln für Wurzeln

Aus den Rechenregeln für Potenzen lassen sich die Rechengesetze für Wurzeln ableiten:

  • \(\sqrt[n] a \cdot \sqrt[n] b = \sqrt[n]{a \cdot b}\)
  • \(\dfrac {\sqrt[n] a}{\sqrt[n] b} = \sqrt[n]{\dfrac a b}\);  insbesondere: \(\dfrac {1}{\sqrt[n] b} = \sqrt[n]{\dfrac 1 b} \ \ (b \ne 0)\)
  • \(\left(\sqrt[n] a \right)^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\)
  • \(\sqrt[m]{ \sqrt[n] a } = \sqrt[n]{ \sqrt[m] a } = \sqrt[m\cdot n] a = a^{1/m\cdot n}\)

Außerdem gilt:

  • Monotoniegesetz: Bei positivem Wurzelexponenten n gilt \(a < b \ \Rightarrow \ \sqrt[n]a < \sqrt[n]b\)bei negativem Wurzelexponenten n hat man \(a < b \ \Rightarrow \ \sqrt[n]a > \sqrt[n]b\),

  • Wurzeln dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleiche Radikanden besitzen!

 

Anmerkung: Es ist oft sinnvoll, aus dem Radikanden einen quadratischen bzw. einen mit dem jeweiligen Wurzelexponenten potenzierten Faktor auszuklammern und „vor die Wurzel“ zu holen. Man nennt dies auch teilweises (partielles) Radizieren: \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt b =a\sqrt b\)  bzw.  \(\sqrt[n]{a^nb} = \sqrt[n]{a^n} \cdot \sqrt[n] b =a\sqrt[n] b\).
Beispiel:
\(\sqrt[3]{16000} = \sqrt[3]{1000\cdot8\cdot2} = \sqrt[3]{1000} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 10\cdot2\cdot\sqrt[3]{2} = 20\sqrt[3]{2}\)

Ein weiterer häufig benutzter Rechentrick ist das Rationalmachen des Nenners beim Brüchen mit Wurzeltermen.

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