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Lexikon Mathe

Variationen

Unter einer Variation versteht man in der Kombinatorik eine angeordnete Auswahl (ein Tupel) von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Hat man z. B. die Menge {a; b; c; d}, sind (a; b) und (b; a) zwei verschiedene 2er-Variationen, (c; a; b) ist eine 3er Variation (man sagt auch kürzer von 2- und 3-Varationen bzw. allgemein von einer k-Variation). Wenn k = n ist, spricht man von Permutation, daher nehmen wir ab jetzt k < n an.

Einen wichtigen Unterschied macht die Frage, ob die k Elemente alle verschieden sein sollen („keine Wiederholungen“) oder ob sie beliebig ausgewählt werden („Wiederholungen erlaubt“). Im zweiten Fall kann im Prinzip auch k größer als n sein. Bei einem Urnenmodell entspricht Variationen ohne Wiederholungen dem Ziehen ohne Zurücklegen und Variationen mit Wiederholungen dem Ziehen mit Zurücklegen, jeweils mit Berücksichtigung der Reihenfolge, in der aus der Urne gezogen wird.

Sind alle k Elemente verschieden, kann das erste Element der Variation eines von n verschiedenen Elementen sein, für die zweite Position gibt es noch n – 1 Elemente zur Auswahl, für die dritte n – 2 usw. Insgesamt gibt es daher \(n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)=\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}\) verschiedene k-Variationen ohne Wiederholungen. Beispiel: Es gibt \(\displaystyle \frac{5!}{(5-3)!}=60\) verschiedene dreistellige Zahlen mit jeweils verschiedenen ungeraden Ziffern.

Wenn Wiederholungen erlaubt sind, kann an jeder der k Positionen eines von n Elementen erscheinen, also gibt es nk verschiedene k-Variationen mit Wiederholungen. Zum Beispiel hat ein vierstelliges Nummernschloss 104 = 10.000 verschiedene Einstellmöglichkeiten.

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