Der Betrag (oder Absolutbetrag) einer ganzen, rationalen oder reellen Zahl ist der positive „Wert“ dieser Zahl unabhängig von ihrem Vorzeichen. Formaler kann man sagen:
Der Betrag |a| einer Zahl a (sprich: „Betrag von a") ist die Zahl selbst, falls sie positiv oder null ist, und ihre Gegenzahl (das Negative dieser Zahl), falls sie negativ ist. Beachte, dass das Negative von etwas Negativen in der Mathematik immer etwas Positives ist!
Man schreibt kurz: \(|a| = \begin{cases} \ \ \ a, \text{ wenn } a \ge 0 \\ -a, \text{ wenn } a < 0 \end{cases}\)
Beispiele:
|6| = 6
|–3,5| = –(–3,5) = 3,5
|0| = 0
\(\displaystyle \left| \frac 1 2 \right| = \frac 1 2\)
\(|\! -\!\pi| = \pi\)
Von zwei negativen Zahlen hat die kleinere, d. h. „negativere“ Zahl den größeren Betrag, z. B. ist –7 < –3, also ist |–7| > |–3|.
Man kann den Betrag auch geometrisch interpretieren, nämlich als den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt der Zahlengeraden bzw. die Länge des „Pfeils“, der von der 0 bis zur Zahl zeigt. Daher haben eine Zahl und ihre Gegenzahl immer den gleichen Betrag. Dies lässt sich auf den Betrag von Vektoren verallgemeinern, der ebenfall als die Länge eines Pfeils definiert ist.
Die Funktion \(f: \ x \mapsto |x|\) mit der Definitionsmenge \(D = \mathbb R\) und der Wertemenge \(W = \mathbb R_0^+\) heißt Betragsfunktion. Analog zu oben gilt
Der Funktionsgraph der Betragsfunktion folgt im I. Quadranten der 1. Winkelhalbierenden (identische Funktion y = x) und im II. Quadranten der 2. Winkelhalbierenden (Funktion y = –x).
- Die Betragsfunktion hat die Nullstelle x = 0.
- Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
- Wegen \(f (x) = |x| \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) ist die Betragsfunktion nach unten beschränkt. Die größte untere Schranke (das Infimum) ist 0.
- Die Betragsfunktion ist eines der einfachsten Beispiele für eine Funktion, die nicht überall differenzierbar ist: Für alle x < 0 ist \(\left( |x| \right)' = -1\) für alle x > 0 dagegen \(\left( |x| \right)' = +1\), daher ist \(\left( |x| \right)'\) für x = 0 nicht eindeutig definiert.
Wenn eine beliebige Funktion Beträge im Funktionsterm hat, kann man diese durch abschnittsweises Definieren beseitigen. Die Abschnitte ergeben sich aus den Bereichen, in denen der Term zwischen den Betragsstrichen größer oder gleich bzw. kleiner null ist.
Beispiel:
\(f : x \mapsto |x - 1| + 1 \ \ (x \in \mathbb{R})\). Es ist \(x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1\).
Weiter ist
\(|x - 1| = \begin{cases} x - 1 &\text{für} \quad x \geq 1. \\ - (x - 1) & \text{für} \quad x < 1. \end{cases}\)
Damit ergibt sich
\(f (x) = \begin{cases} x & \text{für} \quad x \geq 1. \\ -x +2 &\text{für} \quad x < 1. \end{cases}\)
