Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Woran du eine Bernoulli-Kette erkennst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Woran du eine Bernoulli-Kette erkennst

Aufgabe

Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als 40.000 pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich.

Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden.

Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern. Nenne eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit \(P\), dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann:

\(\begin{align*} P=\binom{50}{12}\cdot 0{,}25^{12}\cdot 0{,}75^{38} \end{align*}\)

Entscheide, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist.

Schritt 1: Voraussetzungen der Binomialverteilung nennen

Der angegebene Term hat die Form

\(\begin{align*} \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{align*}\)

für \(n=50\), \(k=12\) und \(p=0{,}25\). Dies ist laut Bernoulli-Formel die Wahrscheinlichkeit, bei \(n=50\) unabhängigen Bernoulli-Experimenten (d. h. bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n=50\)) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}25\) genau \(k=12\) Treffer zu erzielen.

Voraussetzungen für die Anwendbarkeit dieser Formel ist also die Unabhängigkeit der 50 Einzelexperimente, die sich in der gleichbleibenden Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) äußert.

Schritt 2: Plausibilität im vorliegenden Fall prüfen

In der vorgegebenen Situation entsprechen die 50 Einzelversuche jeweils der Auswahl einer der 50 Personen in der Warteschlange mit den zwei möglichen Ergebnissen männlich oder weiblich. Die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die zufällig ausgewählte Person weiblich ist. Diese Wahrscheinlichkeit kann als \(p=0{,}25\) angenommen werden, wenn die 50 Zuschauer repräsentativ für das ganze Publikum sind (wovon auszugehen ist).

Die Voraussetzung (dass die Einzelversuche unabhängig sind) heißt also, dass die Wahrscheinlichkeit, eine weibliche Person auszuwählen, nicht davon abhängt, ob die vorher ausgewählten Personen weiblich oder männlich waren.

Die Zuschauer neigen vielleicht dazu, in Gruppen (z. B. Fanclubs) zu kommen, die einen von 25 % abweichenden Frauenanteil haben. Solche Gruppen werden aber überwiegend nicht mehr als 10 Personen umfassen, sodass sich bei der vorliegenden Auswahl von 50 Personen derlei Effekte gegenseitig aufheben. Somit ist im vorliegenden Fall die Berechnung von \(P\) über die Bernoulli-Formel sinnvoll.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Videos findest du hier